## [Curvatura Escalar](/es/node/62745) Definición La curvatura escalar es el campo escalar obtenido trazando el tensor de Ricci con respecto a la métrica, R = g^{ij}Ric_{ij}; representa un promedio puntual de curvaturas seccionales y es un invariante escalar básico de una métrica Riemanniana. ## Principio Principio La curvatura escalar comprime la información direccional de curvatura en una única función trazando Ricci, captando un promedio de las curvaturas seccionales en un punto y apareciendo en fórmulas variacionales y cantidades escalares dependientes de la curvatura. ## Demostración Demostración Para la n-esfera redonda de radio r la curvatura escalar es R = n(n−1)/r^2; en dos dimensiones la curvatura escalar es el doble de la curvatura gaussiana, por lo que mide directamente la curvatura intrínseca de las superficies. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Interpretar el signo o la magnitud de la curvatura escalar por sí sola como determinante de la topología global o rigidez sin hipótesis adicionales es un uso indebido; la curvatura escalar proporciona información promediada y puede ser compatible con muchas geometrías locales diferentes. ## Consecuencia Consecuencia La curvatura escalar aparece en la acción de Einstein–Hilbert de la relatividad general, en problemas de Yamabe y de prescripción de curvatura, e influye en comparaciones de volumen y resultados de estabilidad; cotas sobre la escalar restringen métricas posibles pero son más débiles que cotas sobre Ricci o las curvaturas seccionales. ## Inversión Inversión Una métrica con curvatura escalar idénticamente nula invierte la noción de curvatura promedio pero no implica planitud local; la curvatura escalar nula permite que permanezcan componentes no triviales de Ricci y Weyl. ## Límite Límite Definida sólo para variedades con métrica (pseudo-)Riemanniana y su interpretación geométrica depende de la dimensión; omite contenido direccional y conforme de la curvatura y no puede sustituir a invariantes de curvatura más finos. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre usar la curvatura escalar como un invariante único conveniente para problemas varicionales y reconocer que es un promedio tosco que puede ocultar efectos direccionales captados por Ricci y las curvaturas seccionales; distintos problemas requieren distintos niveles de detalle curvatural. ## Síntesis Síntesis La curvatura escalar es la traza métrica del tensor de Ricci que produce una medida escalar de la curvatura seccional media en cada punto; es un invariante central en geometría y física, pero debe interpretarse junto con datos de curvatura más finos para obtener información geométrica completa.