##  [Tensor de Ricci](/es/node/62743) 

 Definición

El tensor simétrico (0,2) obtenido al contraer el tensor de curvatura de Riemann en un par de índices, Ric(X,Y) = trace_g(Z ↦ R(Z,X)Y), que codifica información direccional de curvatura promedio y actúa sobre vectores tangentes.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El tensor de Ricci resulta de trazar el tensor de Riemann y registra el promedio de las curvaturas seccionales que atraviesan una dirección dada; es simétrico, depende de la métrica y gobierna propiedades de volumen y divergencia de flujos geodésicos.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En una variedad de Einstein el tensor de Ricci es proporcional a la métrica, Ric = λ g; para la n-esfera esto da Ric(v,v) = (n-1)/r^2 · g(v,v), mostrando una curvatura media uniforme en todas las direcciones.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar el tensor de Ricci como si determinara por completo el tensor de Riemann en dimensiones mayores es un uso indebido; Ricci elimina la parte sin traza (tenor de Weyl) y por tanto no puede captar detalles de curvatura conforme.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

La curvatura de Ricci controla teoremas de comparación volumétrica, la dispersión de geodésicas y aparece en ecuaciones evolutivas como el flujo de Ricci; cotas inferiores en Ricci implican fuertes restricciones métricas y topológicas (Bonnet–Myers, Bishop–Gromov).

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La parte sin traza de la curvatura (tensor de Weyl) contrasta con Ricci al codificar la porción conforme que Ricci elimina por traza; Ricci nulo no implica curvatura total nula cuando Weyl ≠ 0.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definido para métricas Riemannianas y pseudo-Riemannianas a partir del tensor de Riemann; carece de sentido sin métrica y no determina invariantes conformes o de orden superior — propiedades que dependen de la dimensión (por ejemplo, en 2D Ricci determina la curvatura total).

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Hay tensión entre tratar a Ricci como el objeto de curvatura primordial para volumen y resultados globales y reconocer que es un promedio que omite matices direccionales capturados por la curvatura seccional y el tensor de Weyl; cada perspectiva sirve a distintos problemas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El tensor de Ricci es la traza dependiente de la métrica del tensor de Riemann que registra la curvatura seccional promedio según direcciones y sustenta resultados geométrico-analíticos clave que conectan cotas de curvatura con volumen, topología y evolución geométrica.