## [Invariante Eta](/es/node/62676) Definición Un invariante espectral de un operador elíptico autoadjunto definida como el valor en cero de su función eta η(s) = ∑_{λ≠0} sign(λ) |λ|^{-s} tras continuación analítica; mide la asimetría espectral (desequilibrio entre autovalores positivos y negativos) y aporta términos de corrección en fórmulas de índice con borde. ## Principio Principio Se construye la función eta a partir de la suma signada de potencias de los autovalores no nulos, se continúa analíticamente η(s) hasta s=0 y se define η(0) (a menudo modulo enteros cuando existe ambigüedad). El invariante captura asimetría espectral global no visible para invariantes basados en valores absolutos y depende de las condiciones de contorno. ## Demostración Demostración Para un operador de Dirac autoadjunto en una variedad cerrada de dimensión impar se calcula η(s) a partir del espectro discreto y se evalúa en s=0 para obtener un número real; en problemas unidimensionales con torsión el invariante eta puede ser fraccionario y variar continuamente con el flujo espectral. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar el invariante eta como siempre entero o local (es típicamente una cantidad espectral real y analítica) o ignorar la contribución de autovalores cero conduce a errores; tampoco tener en cuenta la elección de corte espectral o de regularización puede cambiar su valor por enteros. ## Consecuencia Consecuencia Los invariantes eta aparecen como términos de corrección en el teorema de índice de Atiyah–Patodi–Singer para variedades con frontera, determinan fases en anomalías de líneas de determinantes y cuantifican la asimetría espectral relevante en análisis geométrico y teoría cuántica de campos. ## Inversión Inversión La inversión considera el invariante espectral no firmado (por ejemplo el determinante regularizado por zeta construido a partir de |λ|), que ignora la información de signo; mientras eta registra el desequilibrio signado, el determinante no firmado solo registra magnitudes — la inversión pierde información de asimetría. ## Límite Límite Definido para operadores elípticos autoadjuntos con espectro discreto tras una regularización adecuada; sensible a las condiciones de contorno y a las elecciones de normalización, con complicaciones para operadores con espectro continuo o dominios mal controlados. ## Tensión semántica Tensión semántica Estrechamente relacionado con la fase de los determinantes regularizados por zeta y con el flujo espectral: el flujo espectral cambia eta por enteros en muchos contextos, generando tensión entre datos de índice enteros y la asimetría espectral real. ## Síntesis Síntesis El invariante eta es la suma espectral signada, continuada analíticamente en cero, que cuantifica el desequilibrio entre autovalores positivos y negativos de un operador elíptico autoadjunto; proporciona términos de corrección espectral sutiles, esenciales en la teoría de índices con fronteras y en cálculos de anomalías.