## [Flujo Espectral](/es/node/62672) Definición Un invariante entero asociado a una familia continua uniparamétrica de operadores de Fredholm autoadjuntos que cuenta, con signo y multiplicidad, el número neto de autovalores que atraviesan cero cuando varía el parámetro; enlaza datos espectrales con índices topológicos. ## Principio Principio Los cruces de autovalores por cero son discretos para familias de operadores de Fredholm autoadjuntos; asignando un conteo orientado a los cruces se obtiene un entero homotópico-invariante que, por suspensión, coincide con el índice de un operador asociado en un cilindro. ## Demostración Demostración Para un camino suave {A_t}_{t∈[0,1]} de operadores acotados autoadjuntos de Fredholm se siguen los autovalores λ_i(t): el flujo espectral es la suma sobre los instantes de cruce t_j de sign( d/dt λ_i(t_j) ) contados con multiplicidad. En familias de operadores tipo Dirac D_t = D + tK en una variedad cerrada, el flujo espectral iguala el índice de ∂_t + D_t en M×[0,1]. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Contar cruces sin orientación o ignorar degeneraciones (cruces múltiples simultáneas) produce totales erróneos; aplicar la noción a operadores no-Fredholm o a familias que cruzan espectro esencial falla, porque los cruces pueden dejar de ser discretos o bien definidos. ## Consecuencia Consecuencia El flujo espectral conecta el análisis con la topología: calcula diferencias de proyecciones espectrales, aparece en pruebas de teoremas de índice para familias, se relaciona con el índice de Maslov en contextos simplécticos y mide cambios de fase espectral bajo deformaciones continuas. ## Inversión Inversión Invertir la noción da el flujo espectral negativo al recorrer el parámetro en sentido contrario; conceptualmente, centrarse en cruces de un nivel distinto de cero o en la creación/aniquilación de autovalores en vez de cruces por cero cambia fundamentalmente el invariante. ## Límite Límite Definido para caminos continuos de operadores de Fredholm autoadjuntos (acotados o, para no acotados, controlados por la topología del grafo); no está definido en general para familias no autoadjuntas, para operadores no acotados sin control de dominio, ni cuando el espectro esencial cruza cero. ## Tensión semántica Tensión semántica Relacionado pero distinto del índice de Fredholm: en muchas construcciones el flujo espectral coincide con el índice de un operador por suspensión, pero el flujo espectral depende del camino, mientras que el índice se asigna a un único operador; la tensión aparece al distinguir invariancia de camino e invariantes de los extremos. ## Síntesis Síntesis El flujo espectral es el conteo orientado de cambios de signo de autovalores que atraviesan cero a lo largo de un camino continuo de operadores autoadjuntos de Fredholm; convierte el movimiento espectral analítico en un entero que codifica información topológica y de índice sobre la familia.