## [Índice de Fredholm](/es/node/62669) Definición Invariante entera de un operador de Fredholm igual a la dimensión de su núcleo menos la dimensión de su cociente (cokernel); mide la obstrucción de dimensión finita a la invertibilidad y vincula la teoría analítica de operadores con información topológica. ## Principio Principio Los operadores de Fredholm tienen rango cerrado, núcleo y cociente de dimensión finita, y su índice es estable bajo perturbaciones compactas y deformaciones continuas (homotopías); para operadores elípticos en variedades compactas el índice analítico suele coincidir con un índice topológico. ## Demostración Demostración En dimensiones finitas una transformación lineal entre espacios de igual dimensión es Fredholm con índice cero; para un operador diferencial elíptico en una variedad cerrada el índice es dim ker − dim coker y, en complejos elípticos clásicos, coincide con un invariante topológico calculable a partir de clases características. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asignar un índice a operadores no Fredholm (con núcleo de dimensión infinita o rango no cerrado) o asumir índice cero sin verificar las propiedades de Fredholm; confundir la dimensión del núcleo (analítica) con invariantes topológicos sin las hipótesis de Fredholm. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona afirmaciones de existencia hasta obstrucciones de dimensión finita, permite contar grados de libertad ante perturbaciones, sustenta el flujo espectral y resultados de estabilidad, y establece puentes con la topología (teoremas de índice) y la K‑teoría. ## Inversión Inversión Un operador no Fredholm (por ejemplo con cociente de dimensión infinita o rango no cerrado) no posee un índice finito bien definido; el fallo de invertibilidad es de naturaleza infinita y no puede remediarse por ajustes de dimensión finita. ## Límite Límite Se aplica a operadores acotados o a operadores no acotados cerrados adecuadamente definidos entre espacios de Banach o Hilbert que satisfacen condiciones de Fredholm (o a operadores elípticos con mapeos en espacios apropiados); excluye operadores no acotados arbitrarios sin control del dominio o operadores sobre espacios no Banach. ## Tensión semántica Tensión semántica Se diferencia de invariantes espectrales: el índice es un entero estable bajo perturbaciones compactas y homotopía, mientras que cantidades espectrales (conteos de autovalores) pueden variar; también contrasta el índice analítico con el topológico, cuya igualdad requiere hipótesis de elipticidad y compacidad. ## Síntesis Síntesis El índice de Fredholm cuantifica el fallo de invertibilidad de dimensión finita para operadores con buenas propiedades de mapeo; su invariancia por homotopía y sus vínculos con la topología lo convierten en un invariante central para cuestiones de existencia, deformación y clasificación en análisis.