##  [Alternativa de Fredholm](/es/node/62610) 

 Definición

Un principio de solvencia para operadores lineales compactos o de Fredholm que afirma que para la ecuación lineal Lx = f, o bien el problema homogéneo Lx = 0 solo tiene la solución trivial y L es sobreyectivo (por tanto Lx=f es soluble para todo f), o bien el problema homogéneo tiene soluciones no triviales y Lx=f es soluble justamente cuando f es ortogonal a todo elemento del espacio de soluciones homogéneas del adjunto.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La regla organizadora es la dicotomía de dimensión finita entre núcleo y cociente para operadores de Fredholm: index(L)=dim ker L − dim coker L gobierna la solvencia; la ortogonalidad respecto al núcleo adjunto (condición de la alternativa de Fredholm) caracteriza el rango cuando el núcleo es no trivial.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ecuaciones integrales de segunda especie en un espacio de Hilbert con L = I − K y K compacto. Si 1 no es valor propio de K, (I−K) es invertible y (I−K)u = f tiene solución única para todo f. Si 1 es valor propio, la solvencia requiere que f sea ortogonal a todas las soluciones v de la ecuación homogénea adjunta (I−K^*)v = 0.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar la alternativa de Fredholm a operadores no-Fredholm (por ejemplo operadores con espectro continuo o operadores no acotados no-Fredholm), o tratar las condiciones de ortogonalidad como suficientes para unicidad en lugar de solo para existencia, conduce a errores.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona un criterio claro que separa cuestiones de existencia y unicidad, da relaciones de dimensión para los espacios de soluciones y orienta la construcción de inversas generalizadas y condiciones de solvencia en problemas de contorno e integrales.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En entornos no-Fredholm (operadores con espectro esencial o cociente de dimensión infinita) no existe una alternativa simple: la solvencia depende de medidas espectrales más finas, del comportamiento del espectro continuo o de obstrucciones en el sentido de distribuciones en lugar de una condición de ortogonalidad finita.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Válida para operadores de Fredholm en espacios de Banach o Hilbert y para perturbaciones compactas de la identidad; excluye muchos operadores diferenciales no acotados sin la propiedad de Fredholm, operadores cuyo espectro esencial interviene y problemas genuinamente no lineales sin linealización apropiada.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la alternativa de Fredholm y otros marcos de solvencia: la teoría de Riesz–Schauder para operadores compactos enfatiza el espectro discreto, mientras que los enfoques de inversa generalizada destacan familias de soluciones parametrizadas; la perspectiva correcta depende de la clase de operadores.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La Alternativa de Fredholm es una declaración dicotómica de solvencia para operadores lineales Fredholm/compactos: o hay invertibilidad y todas las fuentes derechas son solubles, o existe un espacio homogéneo de dimensión finita y la solvencia se expresa exactamente por la ortogonalidad respecto del adjunto.