##  [Método de Continuidad](/es/node/62600) 

 Definición

Método de existencia basado en homotopía que conecta un problema con solvencia conocida con un problema objetivo mediante una familia continua de problemas parametrizada por t en [0,1], apoyándose en estimaciones a priori y en la continuación analítica o topológica para transportar soluciones a lo largo del camino.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Deformar continuamente una ecuación resoluble hasta la objetivo manteniendo cotas a priori uniformes y propiedades de invertibilidad (o control de índice) del operador linealizado, de modo que las soluciones persistan para todos los valores del parámetro.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para resolver una EDP elíptica no lineal L(u)=N(u), considerar L_t(u)=tN(u)+(1-t)G(u) con G lineal y solvable; probar cotas uniformes para las soluciones y usar argumentos de apertura/cerradura en t para extender la solvencia de t=0 a t=1.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar el método sin asegurar estimaciones a priori uniformes o sin controlar la pérdida de compacidad puede fracasar: la rama de soluciones puede explotar o dejar de existir en algún valor del parámetro a pesar de la solvencia inicial.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando es aplicable se obtiene existencia (y a veces continuidad) de soluciones para el problema objetivo, a menudo con preservación de la regularidad y, en ocasiones, unicidad si la invertibilidad se mantiene a lo largo del camino.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si la trayectoria paramétrica atraviesa un punto de bifurcación donde falla la invertibilidad del linealizado, el argumento de continuidad se rompe y hay que recurrir a teoría de bifurcaciones u otros métodos globales.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere una familia de parámetros conectada, un problema inicial resuelto y control (estimaciones a priori, teoría del índice o compacidad) a lo largo del camino; no sustituye a técnicas locales cuando solo hay datos locales.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Se sitúa entre técnicas locales como el teorema de la función implícita (continuación local) y métodos topológicos o variacionales (existencia sin control de la trayectoria); el método enfatiza la deformación junto con estimaciones.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El Método de Continuidad aprovecha una deformación continua desde un problema simple hasta el problema difícil, usando cotas a priori y continuación analítica/topológica para propagar la solvencia a través del intervalo de parámetros.