##  [Principio del Módulo Máximo](/es/node/62594) 

 Definición

Un principio del análisis complejo que afirma que una función holomorfa no constante en un dominio abierto conexo no puede alcanzar un máximo local estricto de su módulo en el interior; si el módulo alcanza un máximo global en el dominio, la función es constante. Equivalente: |f| es subarmónica y alcanza su máximo en la frontera.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La holomorfía obliga al comportamiento de la magnitud de una función analítica de modo que los máximos ocurren solo en la frontera; un extremo interior del módulo implica constancia.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para f(z)=z en el disco unidad, |f| alcanza su máximo en el círculo unidad y nunca estrictamente en el interior. Si f es holomorfa en un dominio conexo y |f(z0)| ≥ |f(z)| en una vecindad de z0, entonces f es constante según el principio del módulo máximo.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el principio a funciones meramente diferenciables o a funciones meromorfas con polos; el resultado requiere holomorfía en el dominio (o subarmonicidad de log|f| para funciones sin ceros).

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Sostiene resultados de unicidad, el teorema de la imagen abierta y propiedades de rigidez de aplicaciones holomorfas; controla ceros y crecimiento y es clave en problemas de valor en la frontera.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Existe un enunciado análogo de módulo mínimo para funciones holomorfas sin ceros (el mínimo de |f| se localiza en la frontera), pero pueden existir mínimos interiores en ceros; invertir el principio sin la hipótesis de no anulación falla.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere un dominio abierto conexo y holomorfía en él; no se aplica en singularidades, a funciones complejas meramente continuas ni directamente a funciones armónicas sin modificación.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Hay cercanía con el principio del máximo para funciones armónicas y con el teorema de la imagen abierta; debe distinguirse entre máximos del módulo y extremos de componentes reales/imaginarias, y entre subarmonicidad y harmonicidad.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El principio del módulo máximo afirma que el módulo de una función holomorfa no constante en un dominio conexo no puede tener máximos estrictos interiores, uniendo holomorfía, subarmonicidad y comportamiento en la frontera en una sola afirmación de rigidez usada en todo el análisis complejo.