##  [Teorema de Representación de Riesz](/es/node/62590) 

 Definición

Un teorema que caracteriza los funcionales lineales continuos en ciertos espacios vectoriales topológicos por objetos concretos: en un espacio de Hilbert H todo funcional lineal acotado se expresa como el producto interior con un vector único de H, y en C0(X) (funciones continuas que se anulan en el infinito sobre un espacio localmente compacto de Hausdorff X) todo funcional lineal continuo se representa como integración frente a una medida de Borel regular firmada (o compleja) única.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Identificar elementos del dual abstracto con representantes geométricos o medida‑teóricos explícitos para que la dualidad sea evaluación frente a un objeto canónico (vector o medida).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En L2([0,1]) cada funcional lineal acotado L tiene un único g en L2 con L(f)=∫_0^1 f(x) g(x) dx, es decir L(f)=⟨f,g⟩. Para C([0,1]) el dual es el espacio de medidas de Borel regulares con masa finita y L(f)=∫ f dμ.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que la misma representación por producto interior vale en cualquier espacio de Banach como Lp para p≠2, o asumir la representación por medida para espacios de funciones sin compacidad local ni la hipótesis C0.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Convierte preguntas abstractas sobre el dual en objetos analíticos concretos, permitiendo construcciones explícitas, cálculo de normas y descripciones espectrales; facilita la identificación de adjuntos y núcleos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Los elementos del dual algebraico no continuos, o los funcionales continuos en espacios que carecen de la estructura necesaria, no pueden escribirse como producto interior o integral; el dual entonces es estrictamente mayor o distinto.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica tal cual para espacios de Hilbert y para C0(X) con X localmente compacto de Hausdorff (o compacto para C(X)); no se extiende literalmente a Banach arbitrarios, X no localmente compacto, ni a funcionales lineales discontinuos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

La expresión «representación de Riesz» también señala resultados relacionados pero distintos (Riesz–Markov, lema de Riesz, representación en espacios de Hilbert); es necesario precisar si se refiere a la versión por producto interior o por medida.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema de representación de Riesz iguala los funcionales lineales continuos en espacios analíticos clave con evaluadores concretos — vectores en espacios de Hilbert o medidas de Borel regulares en espacios topológicos adecuados — convirtiendo la dualidad abstracta en evaluación por integral o producto interior.