##  [Desigualdad de Jensen](/es/node/62589) 

 Definición

Desigualdad que afirma que para una función convexa φ y una variable aleatoria integrable X (o función medible) la función convexa evaluada en la esperanza está a lo más en la esperanza de la función convexa: φ(E[X]) ≤ E[φ(X]).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Si φ es convexa en un conjunto convexo y X es una función medible con valores en ese conjunto, integrable de modo que X y φ∘X tengan integrales definidas, entonces φ(∫ X dμ) ≤ ∫ φ∘X dμ. En lenguaje probabilístico: φ(E[X]) ≤ E[φ(X]); para φ cóncava la desigualdad se invierte.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo concreto: φ(t)=t^2 (convexa) y una ley de probabilidad con media m; Jensen da m^2 ≤ E[X^2], relación familiar que conduce a Var(X)=E[X^2]-m^2 ≥ 0 y muestra la no negatividad de la varianza.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar Jensen con una φ no convexa o sin garantizar la integrabilidad de φ∘X conduce a conclusiones falsas; otro uso indebido es considerar la convexidad puntual suficiente cuando fallan condiciones sobre el dominio o la mensurabilidad.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Jensen es una herramienta básica que conecta convexidad y esperanza, usada para obtener cotas en probabilidad, estadística, análisis convexo y para controlar transformaciones no lineales bajo operaciones de promedio.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Para funciones cóncavas ψ la desigualdad se invierte: ψ(E[X]) ≥ E[ψ(X)]. También puede verse la inversión cambiando el signo de φ o empleando subgradientes para obtener cotas inferiores en casos particulares.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere que φ sea convexa sobre el dominio relevante y la integrabilidad de X y de φ∘X; se aplica a expectativas respecto de medidas de probabilidad y a integrales sobre espacios de medida finita, pero no a aplicaciones no medibles ni a φ con singularidades en la imagen de X.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

La tensión viene con la linealidad de la esperanza: Jensen cuantifica cómo la no linealidad (convexidad) sitúa la función del promedio por debajo de la media de la función; intuiciones contrapuestas sobre 'sacar una función de un promedio' se resuelven por el signo de la convexidad.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La desigualdad de Jensen formaliza el efecto de las no linealidades convexas (o cóncavas) sobre promedios: las funciones convexas hacen que φ(E[X]) ≤ E[φ(X]), siendo una comparación fundamental empleada en análisis y probabilidad.