## [Criterio de Cauchy](/es/node/62575) Definición Una caracterización de la convergencia para sucesiones (o series a través de sus sumas parciales) en espacios métricos o uniformes: una sucesión es de Cauchy si sus términos se acercan arbitrariamente entre sí cuando crece el índice; en un espacio completo, las sucesiones de Cauchy convergen. ## Principio Principio Convergencia sin límite conocido: el criterio separa la coherencia interna de una sucesión (proximalidad mutua de las colas) de la existencia de un punto límite; la completitud del espacio convierte la propiedad de Cauchy en convergencia real. ## Demostración Demostración La sucesión x_n = 1/n en R es de Cauchy porque para m,n grandes la diferencia |1/n - 1/m| puede hacerse tan pequeña como se quiera; en las racionales existen sucesiones de Cauchy que no convergen dentro de Q por falta de completitud. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar el criterio de Cauchy en un espacio que carece de estructura uniforme (espacios topológicos puros sin métrica) sin pasar a redes o filtros, o suponer que una sucesión de Cauchy debe converger independientemente de la completitud del espacio. ## Consecuencia Consecuencia El criterio ofrece una prueba de convergencia sin limitación y es la herramienta definitoria de la completitud; subyace a construcciones de completación (por ejemplo, completar los racionales a los reales) y es central en análisis y pruebas de convergencia numérica. ## Inversión Inversión La inversión aísla espacios: que todas las sucesiones de Cauchy converjan caracteriza la completitud. A la inversa, una sucesión puede ser de Cauchy sin converger precisamente en espacios incompletos (p. ej., sucesiones racionales de Cauchy sin límite racional). ## Límite Límite Se aplica en espacios métricos y, más generalmente, en espacios uniformes; para espacios topológicos generales hay que usar redes o filtros de Cauchy respecto a una uniformidad. No trata directamente nociones de convergencia que requieran estructura de orden o medida sin datos adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la propiedad de Cauchy y la convergencia puntual: Cauchy concierne a la proximidad mutua de las colas mientras que la convergencia puntual permite comportamientos oscilatorios; también hay tensión entre completitud (propiedad del espacio) y convergencia (propiedad de la sucesión). ## Síntesis Síntesis El criterio de Cauchy aísla el comportamiento intrínseco de convergencia comprobando la proximidad mutua de las colas de una sucesión; unido a la completitud del espacio conduce a la convergencia real y, en ausencia de completitud, señala la necesidad de completar el espacio.