## [Distancia de Hausdorff](/es/node/62569) Definición Una métrica en la familia de subconjuntos no vacíos y acotados de un espacio métrico definida como el máximo de los dos supremos dirigidos de distancias desde puntos de un conjunto al otro (equivalente al ínfimo r tal que cada conjunto está contenido en la vecindad r del otro). ## Principio Principio La distancia de Hausdorff organiza la cercanía de conjuntos por la brecha peor-caso al punto más cercano: mide cuánto hay que desplazarse desde un punto de cualquiera de los conjuntos para alcanzar el otro, simetrizando proximidades dirigidas en una métrica genuina sobre conjuntos cerrados y acotados. ## Demostración Demostración En R con la métrica euclidiana, la distancia de Hausdorff entre [0,1] y [0.1,1.1] es 0.1 porque cada punto de un intervalo está a menos de 0.1 de algún punto del otro; pequeñas perturbaciones uniformes de un compacto producen pequeñas distancias de Hausdorff. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la distancia de Hausdorff para conjuntos no acotados sin modificación (donde puede ser infinita) o esperar que refleje similitud medida-teórica (dos conjuntos pueden tener pequeña diferencia simétrica en medida pero gran distancia de Hausdorff) son usos indebidos comunes. ## Consecuencia Consecuencia En el espacio de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico compacto, la distancia de Hausdorff define una métrica completa y convierte el hiperespace en compacto; se utiliza ampliamente en análisis de formas, aproximación geométrica y convergencia de conjuntos. ## Inversión Inversión Sustituir la distancia de Hausdorff por la medida de la diferencia simétrica o por distancias L^p de conjuntos invierte el énfasis desde la separación geométrica puntual máxima hacia discrepancias promediadas o volumétricas; la inversión conviene para comparaciones probabilísticas o medidas pero pierde control geométrico worst-case. ## Límite Límite Definida para subconjuntos no vacíos y acotados de un espacio métrico; a menudo se restringe a conjuntos cerrados o compactos para evitar patologías y asegurar finitud y propiedades métricas; depende de la métrica ambiente y no es intrínseca a los conjuntos si la geometría ambiente no está fijada. ## Tensión semántica Tensión semántica La distancia de Hausdorff compite con la distancia de Gromov–Hausdorff y con distancias entre conjuntos basadas en medida: la primera compara espacios métricos hasta isometría, la segunda promedia discrepancias, por lo que la elección depende de si se desea alineamiento geométrico puntual o similitud volumétrica a gran escala. ## Síntesis Síntesis La distancia de Hausdorff es la brecha máxima al punto más cercano entre dos subconjuntos acotados: una medida simétrica, dependiente de la métrica ambiente, de la cercanía de conjuntos que captura la desviación geométrica worst-case, sustenta resultados de compacidad para hiperespace y contrasta con discrepancias promediadas.