## [Capacidad](/es/node/62567) Definición En teoría del potencial, una capacidad es una función definida sobre conjuntos que cuantifica la habilidad de un subconjunto del espacio para albergar o sostener un tipo prescrito de energía o carga, típicamente definida mediante el ínfimo de un funcional de energía sobre medidas o potenciales admisibles soportados en el conjunto. ## Principio Principio La capacidad organiza el tamaño no por volumen sino por coste energético: un conjunto tiene pequeña capacidad si cualquier carga unitaria situada en él tiene gran energía propia, y capacidad cero indica influencia despreciable para el kernel o espacio de funciones elegido. ## Demostración Demostración En R^n con el kernel newtoniano, la capacidad de una bola cerrada de radio r escala como r^{n-2} para n>2 (hasta constantes), mostrando cómo el tamaño geométrico y el tipo de kernel determinan la capacidad; conjuntos fractales delgados pueden tener capacidad cero aunque su medida de Lebesgue sea positiva o viceversa según la dimensión. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar la capacidad como una medida ordinaria (esperando σ-adiatividad o continuidad monótona análoga a la medida de Lebesgue) o usar el kernel/espacio de funciones equivocado para un problema malaplica el concepto y produce afirmaciones cualitativas erróneas sobre conjuntos delgados. ## Consecuencia Consecuencia La capacidad identifica conjuntos excepcionales o polares para EDPs y enunciados de teoría del potencial: los conjuntos de capacidad cero pueden omitirse en problemas de Dirichlet o en afirmaciones de continuidad fina, y las estimaciones capacitares controlan el comportamiento puntual de potenciales y soluciones. ## Inversión Inversión Sustituir la capacidad por la medida de Lebesgue en problemas gobernados por kernels potenciales invierte la perspectiva desde la influencia energética al volumen; muchos conjuntos delgados despreciables para la capacidad pueden tener medida positiva, por lo que la inversión altera qué conjuntos se consideran despreciables. ## Límite Límite La capacidad depende de la elección del kernel o la clase funcional (por ejemplo, capacidades newtonianas, de Riesz o de Sobolev); se define para subconjuntos de un espacio ambiente dado y no debe identificarse ingenuamente con medidas exteriores salvo que la construcción capacitaria lo produzca. ## Tensión semántica Tensión semántica La capacidad compite semánticamente con la medida y la dimensión: mientras la medida cuantifica el tamaño en masa y la dimensión de Hausdorff captura la escala, la capacidad mide la significación energética relativa a un operador o kernel, de modo que un mismo conjunto puede ser pequeño en un sentido y grande en otro. ## Síntesis Síntesis La capacidad es un concepto de tamaño de conjuntos dependiente del kernel u operador que mide el coste energético para colocar una carga unitaria o un potencial en el conjunto: selecciona conjuntos despreciables para teoría del potencial y EDPs, complementa medida y dimensión y se define mediante minimización variacional de energía.