## [Variación Regular](/es/node/62545) Definición Propiedad asintótica de funciones positivas en el infinito (o en cero) caracterizada por una escala tipo ley de potencia: una función medible f es de variación regular en el infinito con índice α si para todo x>0, lim_{t→∞} f(tx)/f(t) = x^α. Si α=0, f es lentamente variable. ## Principio Principio La variación regular codifica autosimilitud asintótica bajo reescalado multiplicativo, reduciendo el comportamiento de colas o de argumentos grandes a un término potencia t^α multiplicado por un factor lentamente variable; es la idea organizadora de la teoría de Karamata y de teoremas tauberianos. ## Demostración Demostración Ejemplo habitual: f(t)=t^α L(t) con α∈R y L lentamente variable, por ejemplo L(t)=(log t)^{β}. En probabilidad, las leyes de colas pesadas satisfacen P(X>t) ∼ t^{-α}L(t), proporcionando colas de ley de potencia usadas en teoremas límite. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir variación regular a partir de observaciones a escalas finitas o ajustar una ley de potencia en un rango estrecho; tratar factores oscilatorios que no se estabilizan asintóticamente como variación regular; o usarla para afirmar igualdad exacta en lugar de equivalencia asintótica. ## Consecuencia Consecuencia La variación regular da relaciones asintóticas uniformes (representación de Karamata, cotas de Potter), permite aproximaciones precisas de colas, gobierna los dominios de atracción de leyes estables y facilita teoremas tauberianos que relacionan transformadas y colas. ## Inversión Inversión Variación rápida, donde f(tx)/f(t) → ∞ o 0 (sin índice de potencia finito), o funciones que carecen de escalado multiplicativo; o funciones con oscilación esencial que impiden la existencia del cociente límite. ## Límite Límite Definida para funciones medibles positivas cerca del infinito o de cero; excluye funciones que cambian de signo salvo que se considere el módulo o se separen las partes positiva y negativa, y no afirma comportamiento de ley de potencia fuera del régimen asintótico. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión con los ajustes empíricos de 'ley de potencia' y con la mera equivalencia asintótica: la variación regular es una propiedad límite bajo reescalado multiplicativo, más fuerte que observar una decaimiento aproximado y distinta de decaimientos lentos u oscilatorios. ## Síntesis Síntesis La variación regular formaliza la escala asintótica separando un término potencia y un factor lentamente variable, aportando herramientas uniformes (representación, cotas, vínculos tauberianos) para convertir la autosimilitud multiplicativa en conclusiones asintóticas precisas.