## [Operador Compacto](/es/node/62528) Definición Operador lineal entre espacios vectoriales topológicos (a menudo normados o de Banach) que envía conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos; equivalente a que la imagen de toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente en el espacio objetivo. ## Principio Principio La compacidad expresa la posibilidad de aproximación por dimensiones finitas: los operadores compactos se aproximan en norma de operador por operadores de rango finito en muchos contextos y comprimen el comportamiento infinitodimensional en imágenes precompactas. ## Demostración Demostración El operador integral K en L2 definido por (Kf)(x)=∫ k(x,y)f(y) dy con un núcleo k regular es compacto bajo hipótesis estándar; la inclusión H1_0(Ω)→L2(Ω) es compacta (teorema de Rellich); en dimensión finita todo operador lineal es compacto. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que todo operador acotado es compacto (falso en dimensiones infinitas) o aplicar conclusiones espectrales propias de operadores compactos sin verificar la compacidad, por ejemplo afirmar espectro puntual discreto acumulándose solo en cero sin justificación. ## Consecuencia Consecuencia Los operadores compactos poseen estructura espectral específica (espectro puntual posiblemente acumulándose solo en cero), permiten resultados tipo alternativa de Fredholm y ofrecen mejores propiedades de convergencia basadas en la compacidad de las imágenes. ## Inversión Inversión Un operador acotado no compacto no envía conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos; ejemplos típicos son los operadores de desplazamiento en ℓ2 o la multiplicación por una sucesión no acotada, que presentan espectro continuo o imposibilidad de aproximación por rango finito en norma de operador. ## Límite Límite La definición requiere una topología ambiente en la que la compacidad relativa tenga sentido (espacios normados o topológicos); excluye operadores no acotados, imágenes acotadas que no son relativamente compactas y propiedades válidas solo punto por punto o en subespacios. ## Tensión semántica Tensión semántica «Compacto» entra en tensión con «rango finito», «límite de rangos finitos» y con la noción más amplia de «completamente continuo» (alias); la tensión se resuelve especificando la topología y el modo de aproximación (norma frente a topología fuerte de operadores). ## Síntesis Síntesis Un operador compacto es una transformación lineal que reduce conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos, permitiendo aproximaciones por dimensiones finitas; esta compresión estructural produce consecuencias espectrales y de convergencia que distinguen a los operadores compactos de los operadores acotados generales.