## [Espacio de Fréchet](/es/node/62507) Definición Un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología es metrizable por una métrica invariante por traslaciones y que es completo respecto a esa métrica; equivalente a un espacio vectorial topológico completo, localmente convexo y metrizable, descrito habitualmente por una familia contable de seminormas. ## Principio Principio La topología se genera por una familia contable de seminormas que proporciona una métrica invariante por traslaciones; la completitud frente a esa métrica y la convexidad local organizan las propiedades analíticas y de sucesiones del espacio. ## Demostración Demostración El espacio C^∞(R^n) de funciones suavemente diferenciables en R^n, con las seminormas p_{K,m}(f)=sup_{x∈K,|α|≤m}|∂^α f(x)| para K compacto y m entero, es un espacio de Fréchet: las seminormas son contables al tomar una exhaustión por compactos y dan una métrica completa invariante por traslaciones. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar como espacio de Fréchet a cualquier espacio vectorial topológico completamente metrizable sin comprobar la convexidad local, o suponer que todo espacio de Fréchet es normable (es decir, un espacio de Banach) sin verificar la existencia de una norma continua. ## Consecuencia Consecuencia Se pueden aplicar métodos secuenciales y argumentos de categoría de Baire; muchos teoremas estructurales que dependen de metrizabilidad y completitud (teorema del grafo cerrado, teorema de aplicación abierta, inversa acotada para mapas lineales entre espacios de Fréchet) están disponibles. ## Inversión Inversión Si se elimina la convexidad local aparece en la literatura el término F-espacio: un espacio vectorial topológico completo y metrizable que puede carecer de funcionales lineales continuos no triviales o de una descripción mediante seminormas. ## Límite Límite Incluye todos los espacios de Banach (la norma proporciona una métrica invariante por traslaciones) pero excluye espacios localmente convexos completos que no son metrizables y excluye espacios localmente convexos metrizables pero incompletos; la propiedad depende de la topología y no solo de la estructura algebraica. ## Tensión semántica Tensión semántica El término espacio de Fréchet (localmente convexo + metrizable + completo) a menudo se confunde con el más amplio 'F-espacio' (TVS completo y metrizable posiblemente no localmente convexo); esta tensión afecta la existencia del dual, la aplicación de Hahn–Banach y el comportamiento de productos tensoriales. ## Síntesis Síntesis Un espacio de Fréchet es el marco analítico estándar que combina una topología generada por seminormas contables, metrizabilidad por una métrica invariante y completitud métrica, permitiendo aplicar técnicas secuenciales y funcionales mientras se conserva la convexidad local.