##  [Teorema de Hochschild–Kostant–Rosenberg](/es/node/62498) 

 Definición

Un isomorfismo que identifica la homología de Hochschild de una álgebra conmutativa lisa con sus formas diferenciales algebraicas: para una k-álgebra conmutativa lisa A (bajo las hipótesis habituales, p. ej. característica cero o lisez apropiada) se identifican HH_n(A) con los módulos de diferenciales de Kähler Ω^n_A, de manera compatible con la graduación natural y la aplicación HKR.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El complejo de Hochschild de una álgebra conmutativa lisa es cuasi-isomorfo al complejo de de Rham, de modo que la homología de Hochschild, entendida como invariante derivado, recupera las formas diferenciales clásicas en el caso liso.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para la álgebra polinómica A = k[x_1,…,x_d] sobre un cuerpo k de característica cero, la aplicación HKR envía la clase representada por un tensor x_{i_1} ⊗ … ⊗ x_{i_n} en el complejo de cadenas de Hochschild a la forma diferencial dx_{i_1} ∧ … ∧ dx_{i_n}, obteniendo el isomorfismo explícito HH_n(A) ≅ Ω^n_A.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a álgebras conmutativas singulares, a álgebras no conmutativas o sin comprobar las hipótesis en característica positiva; en tales casos la aplicación HKR puede dejar de ser un isomorfismo y puede pasar por alto torsión u otras obstrucciones homológicas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando es aplicable, permite calcular la homología de Hochschild (y, con estructuras adicionales, la homología cíclica) en términos de las formas diferenciales algebraicas y usar la intuición de de Rham para analizar invariantes derivados y obstrucciones a deformaciones.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si la homología de Hochschild no coincide con las formas diferenciales para una álgebra dada, esa discrepancia indica falta de lisez, singularidades o no conmutatividad y la presencia de complejidad homológica adicional.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a álgebras conmutativas lisas y esquemas lisos bajo las hipótesis que garantizan que la aplicación HKR es un cuasi-isomorfismo (a menudo característica cero o condiciones de separabilidad). Excluye anillos no conmutativos generales, álgebras singulares y muchos casos en característica positiva sin ajustes.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre concebir la homología de Hochschild como un invariante derivado puro y la descripción clásica por formas diferenciales: HKR aplana la complejidad derivada en el caso liso, creando fricción cuando se abandona la hipótesis de lisez.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema HKR es el puente que, bajo lisez, iguala la homología de Hochschild derivada de una álgebra conmutativa con sus formas diferenciales clásicas, permitiendo transferir cálculos e intuiciones entre las perspectivas homológica y diferencial.