## [Teorema de Artin–Wedderburn](/es/node/62487) Definición Teorema de clasificación que afirma que todo anillo artiniano semisimple (equivalente a toda álgebra semisimple de dimensión finita sobre un cuerpo) es isomorfo a un producto directo finito de álgebras de matrices sobre anillos de división; en particular, los anillos simples artinianos son álgebras de matrices sobre anillos de división. ## Principio Principio La idea organizadora es que la semisimplicidad obliga a una descomposición en componentes simples, y cada componente simple tiene la forma End_D(V) ≅ M_n(D) para un álgebra de división D y un espacio vectorial de dimensión finita V sobre D; idempotentes centrales separan los factores. ## Demostración Demostración Ilustración: el álgebra de grupo C[G] de un grupo finito sobre los complejos se descompone (por Maschke) como producto finito de álgebras de matrices completas sobre C, una álgebra de matrices por cada representación irreducible compleja, proporcionando la descomposición en bloques usada en teoría de representaciones. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar el teorema a anillos no artinianos o no semisimple (por ejemplo álgebras de dimensión infinita con radical de Jacobson no nulo) esperando una descomposición en producto de matrices; esto ignora radicales, completaciones topológicas o sutilezas de productos directos infinitos. ## Consecuencia Consecuencia El teorema da una descripción estructural completa de las álgebras semisimple: clasificación de módulos simples, identificación de centros mediante descomposición en bloques, equivalencias de tipo Morita explícitas y reducción de cuestiones de representación a álgebra lineal sobre álgebras de división. ## Inversión Inversión Si un anillo no es semisimple o no es artiniano, la conclusión de Artin–Wedderburn falla: puede haber un radical de Jacobson no trivial, módulos indecomponibles más allá de los bloques matriciales y ninguna descomposición finita en álgebras de matrices. ## Límite Límite Se aplica a anillos artinianos semisimple y a álgebras semisimple de dimensión finita sobre cuerpos; no se aplica en general a anillos de dimensión infinita, a anillos con radical no trivial, ni a álgebras sobre anillos que no sean cuerpos sin condiciones de finitud salvo modificaciones apropiadas. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre los usos de 'simple' y 'semisimple' y entre afirmaciones algebraicas de dimensión finita y sus análogos infinitos o topológicos; otra confusión cercana es con el pequeño teorema de Wedderburn sobre anillos de división finitos, que es una afirmación distinta. ## Síntesis Síntesis Artin–Wedderburn identifica los anillos artinianos semisimple con productos finitos de álgebras de matrices sobre álgebras de división, reduciendo cuestiones estructurales y de representación a álgebra lineal sobre dichas álgebras de división y mostrando cómo idempotentes centrales particionan el álgebra en bloques.