## [Reciprocidad de Frobenius](/es/node/62485) Definición Una afirmación de adjunción en teoría de representaciones que establece un isomorfismo canónico entre espacios Hom: para un subgrupo H de G y representaciones adecuadas V de H y W de G, Hom_G(Ind_H^G V, W) ≅ Hom_H(V, Res_H^G W); equivalentemente, la inducción es adjunta a la izquierda de la restricción. ## Principio Principio La regla organizadora es la adjunción: inducción y restricción forman un par adjunto, lo que permite transferir problemas sobre G-módulos a H-módulos y proporciona reglas para calcular productos escalares de caracteres y espacios Hom. ## Demostración Demostración Ejemplo concreto para grupos finitos: si V es un kH-módulo y W un kG-módulo, cualquier mapa G-lineal Ind_H^G V → W corresponde de manera única a un mapa H-lineal V → Res_H^G W; a nivel de caracteres esto da identidades de producto interior para detectar constituyentes irreducibles. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir la reciprocidad de Frobenius con el endomorfismo de Frobenius en característica positiva, o aplicar la adjunción sin verificar hipótesis categóricas (continuidad para grupos topológicos, admisibilidad para representaciones p-ádicas), lo cual puede invalidar el isomorfismo. ## Consecuencia Consecuencia Su uso correcto simplifica los cálculos de inducción/restricción, produce fórmulas de reciprocidad para multiplicidades y respalda herramientas como la descomposición de Mackey y los indicadores de Frobenius–Schur en teoría de caracteres. ## Inversión Inversión Si no existe relación adjunta entre inducción y restricción, se pierden las identificaciones canónicas de los espacios Hom y el cómodo traslado de cálculos de multiplicidades entre representaciones de H y de G. ## Límite Límite Válida en entornos donde inducción y restricción son fonctores adjuntos bien definidos (representaciones de grupos finitos sobre cuerpos, representaciones lisas admisibles de grupos p-ádicos con construcciones apropiadas); hay que tener cuidado con grupos infinitos, categorías no lisas o cuando la inducción debe sustituirse por inducción compacta o coinducción. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre los distintos usos del término 'Frobenius' (endomorfismo vs reciprocidad) y entre versiones adjuntas a la izquierda y a la derecha (inducción compacta vs inducción lisa), por lo que es preciso especificar las hipótesis categóricas para evitar ambigüedad. ## Síntesis Síntesis La reciprocidad de Frobenius es el principio de adjunción que iguala Hom_G(Ind_H^G V,W) con Hom_H(V,Res_H^G W), posibilita el paso sistemático entre representaciones de subgrupos y del grupo y constituye un pilar de las técnicas conceptuales y computacionales en teoría de representaciones.