## [Álgebra Libre](/es/node/62440) Definición Una estructura algebraica en una firma y variedad dadas, generada por un conjunto de generadores libres sin relaciones definitorias salvo las identidades impuestas por la firma y la variedad; equivalentemente, un objeto F(X) con inclusión del conjunto generador X tal que toda función de X en cualquier álgebra A de la misma variedad se extiende de manera única a un homomorfismo F(X) → A. ## Principio Principio La propiedad universal de extensión: la libertad se caracteriza por ser adjunto a la izquierda del functor olvido hacia Set, de modo que los homomorfismos desde el álgebra libre están determinados por las imágenes de los generadores. ## Demostración Demostración En la variedad de grupos, el grupo libre en un generador es isomorfo a los enteros bajo suma; en la variedad de álgebras asociativas unitarias sobre un cuerpo, el álgebra libre sobre X es la álgebra de polinomios no conmutativos (álgebra tensorial) generada por X. Concretamente, el álgebra de términos para una firma Σ y conjunto X consiste en todos los términos Σ construidos a partir de X. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar 'libre' a cualquier álgebra con un conjunto distinguido de generadores sin verificar la propiedad universal de extensión, o asumir libertad sin referirse a la firma/variedad (por ejemplo llamar 'álgebra libre' a un módulo libre sin comprobar el contexto). ## Consecuencia Consecuencia Dado F(X) libre, especificar un homomorfismo F(X) → A equivale a especificar las imágenes de los generadores en X; esto reduce construcciones y pruebas a verificaciones sobre generadores. Categóricamente, las álgebras libres proporcionan adjuntos a la izquierda y organizan las presentaciones por generadores. ## Inversión Inversión Cocientar una álgebra libre mediante relaciones no triviales produce una álgebra presentada; la inversión de la libertad es una álgebra con relaciones impuestas que pierde la propiedad de extensión única. ## Límite Límite La libertad debe enunciarse respecto a una firma y una variedad; un álgebra libre en una variedad puede no serlo en otra. Ser finitamente generada no implica ser libre; la libertad es una propiedad universal, no una cuestión de cardinalidad o de proyectividad salvo en casos concretos. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe confusión entre 'libre' y 'proyectivo' o entre álgebra libre y módulo libre: la proyectividad es una propiedad de levantamiento, la libertad es una propiedad universal de extensión desde generadores. A veces se confunde la mera existencia de un adjunto a la izquierda con una construcción explícita por términos. ## Síntesis Síntesis El álgebra libre es la realización canónica, basada en términos, de un conjunto abstracto de generadores dentro de una variedad: su propiedad universal convierte las imágenes de los generadores en la información completa para definir homomorfismos, y sus cocientes generan todas las álgebras presentadas de la variedad.