## [Teoría Ecuacional](/es/node/62430) Definición Una teoría del primer orden en una firma algebraica fija cuyos axiomas son exclusivamente ecuaciones entre términos cuantificadas universalmente, y que está cerrada bajo la relación de consecuencia de la lógica ecuacional. ## Principio Principio Describir la estructura algebraica únicamente mediante identidades; el cierre por sustitución, reflexividad, simetría, transitividad de la igualdad y reglas de congruencia produce todas las consecuencias ecuacionales. ## Demostración Demostración La clase de monoides está dada por la teoría ecuacional con un símbolo binario · y una constante e, axiomas (x·y)·z = x·(y·z), e·x = x, x·e = x; todo modelo que satisfaga esas identidades es un monoide. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar como ecuacional una teoría que exige cuantificadores existenciales (por ejemplo, 'existe un inverso para cada elemento' sin introducir el inverso como símbolo de función) o añadir axiomas no ecuacionales como relaciones de orden o desigualdades. ## Consecuencia Consecuencia La clase de modelos es una variedad: cerrada bajo imágenes homomorfas, subálgebras y productos directos arbitrarios; las teorías ecuacionales admiten álgebras libres y completitud sintáctica respecto de la consecuencia ecuacional. ## Inversión Inversión Una teoría del primer orden general que utilice relaciones, cuantificadores existenciales o disyunciones — tal teoría no es ecuacional porque sus axiomas no pueden reescribirse solo como ecuaciones universalmente cuantificadas. ## Límite Límite Limitada a firmas con símbolos de función y axiomas que son igualdades cuantificadas universalmente; excluye axiomas que afirmen existencia, desigualdades, órdenes o restricciones relacionales no equivalentes a identidades. ## Tensión semántica Tensión semántica Entre teorías ecuacionales y teorías Horn universales: toda teoría ecuacional es una teoría Horn universal, pero las Horn universales pueden expresar implicaciones entre ecuaciones que no se reducen a identidades puras, creando una brecha expresiva. ## Síntesis Síntesis Una teoría ecuacional es el paquete sintáctico de identidades que definen una variedad: la especificación puramente ecuacional cuyos modelos forman una clase cerrada por homomorfismos, subálgebras y productos y que admite objetos libres construidos a partir de términos sintácticos.