##  [Teorema de Maschke](/es/node/62402) 

 Definición

Un criterio en teoría de representaciones que afirma que para un grupo finito G y un cuerpo k cuya característica no divide |G|, la álgebra de grupo k[G] es semisimple; equivalente, toda representación finito-dimensional de G sobre k se descompone en suma directa de representaciones irreducibles.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Si el orden del grupo es invertible en el cuerpo base, se puede promediar sobre G para obtener complementos invariantes, asegurando la reducibilidad completa de los módulos sobre la álgebra de grupo.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Sobre los números complejos (característica 0) cualquier representación finita de un grupo finito se descompone en irreducibles; concretamente, la representación regular C[G] se divide en sumas de álgebras matriciales correspondientes a caracteres irreducibles, porque (1/|G|)·∑_{g∈G} produce proyectores sobre las componentes isotípicas.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer la descomposición de Maschke en el caso modular (cuando char(k) divide |G|) conduce a conclusiones erróneas: los módulos indecomponibles pueden no ser irreducibles y el promediado por 1/|G| no es válido.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando se cumplen las hipótesis, la teoría de representaciones de G se reduce al estudio de los módulos simples y sus álgebras matriciales; la álgebra de grupo tiene radical de Jacobson nulo y satisface la estructura de Artin–Wedderburn, lo que facilita la clasificación de representaciones y caracteres.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si char(k) divide |G|, k[G] puede tener un radical no nulo y los módulos no se dividen en general; en teoría modular aparecen extensiones, cubiertas proyectivas y indecomponibles no simples.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a álgebras de grupo de grupos finitos y representaciones de dimensión finita sobre cuerpos; no abarca grupos infinitos, representaciones de dimensión infinita ni cuerpos cuya característica divida el orden del grupo.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

El teorema de Maschke suele confundirse con criterios generales de semisimplicidad para álgebras (por ejemplo Artin–Wedderburn); la tensión aparece entre una condición aritmética (invertibilidad de |G|) y nociones estructurales más generales de semisimplicidad.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema de Maschke enlaza una hipótesis aritmética sencilla (el orden del grupo es unidad en el cuerpo) con una conclusión estructural potente (semisimplicidad de k[G] y reducibilidad completa de las representaciones), realizado de forma concreta mediante el promediado para obtener complementos invariantes.