##  [Axioma de Elección](/es/node/62386) 

 Definición

El principio que afirma que para cualquier familia de conjuntos no vacíos existe una función elección que selecciona un elemento de cada conjunto; abreviado AC, se adopta como un axioma independiente de la teoría de conjuntos ZF.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Dada una familia indexada {X_i}_{i∈I} de conjuntos no vacíos, existe una función f con dominio I tal que f(i)∈X_i para todo i; este principio de selección permite construcciones y pruebas de existencia que en general son no constructivas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Usando AC se demuestra que todo espacio vectorial tiene una base: de la familia de todos los subconjuntos linealmente independientes no vacíos se elige un conjunto independiente maximal mediante el lema de Zorn (equivalente a AC), que sirve como base.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que AC proporciona elecciones canónicas o explícitas en contextos constructivos, o usar AC para justificar construcciones numerables cuando bastan formas más débiles (como la elección numerable); invocar AC en contextos donde su independencia cambia propiedades (por ejemplo la existencia de conjuntos no medibles).

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

AC es equivalente a muchas afirmaciones clave (el lema de Zorn, el teorema del buen orden) e implica resultados de existencia potentes en álgebra, topología y análisis (bases de Hamel, teorema de Tychonoff en su forma completa), a la vez que permite objetos patológicos como conjuntos no medibles.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Rechazar AC (trabajar en ZF) preserva regularidad constructiva y medida-teórica a costa de perder ciertos resultados de existencia; muchos teoremas se debilitan o son indemostrables sin algún principio de elección.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a familias arbitrarias de conjuntos en la teoría clásica de conjuntos; existen formas restringidas (elección numerable, elección dependiente, elección para familias de cierta cardinalidad) que son estrictamente más débiles que AC completo en fuerza de consistencia.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con la matemática constructiva y computable, que niega las existencias no constructivas sin reglas explícitas; también tensión con la regularidad medida-teórica ya que AC puede producir conjuntos no medibles, por lo que algunos analistas prefieren axiomas de elección restringidos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El axioma de elección es el principio global de selección que garantiza una función elección para cualquier familia de conjuntos no vacíos; es a la vez extremadamente útil y a veces controvertido porque habilita pruebas de existencia amplias a la vez que permite fenómenos no constructivos y patológicos.