## [Socle](/es/node/62385) Definición El socle de un módulo o anillo es la suma de todos sus submódulos no nulos mínimos (o ideales mínimos); es el mayor subobjeto semisimple contenido en el módulo y equivale a la suma directa de todos los submódulos simples. ## Principio Principio Los submódulos no nulos mínimos son simples; su suma produce un submódulo semisimple máximo porque añadir cualquier otro submódulo simple mantiene la semisimplicidad; el socle recoge todos esos constituyentes simples en el 'fondo' del módulo. ## Demostración Demostración Para una álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo, el socle del módulo regular es la suma de todos los ideales izquierdos simples; para k[x]/(x^n) el socle es el subespacio generado por x^{n−1}, un submódulo simple de dimensión uno. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar 'socle' para referirse al radical o confundirlo con la cabeza (top) del módulo; asumir erróneamente que el socle es no nulo en módulos que no tienen submódulos simples. ## Consecuencia Consecuencia Conocer el socle ayuda a determinar extensiones, cubiertas proyectivas y capas de Loewy; un socle grande suele simplificar la clasificación porque proporciona sumas directas semisimples inmediatas y restringe la estructura posible del módulo. ## Inversión Inversión La noción dual es el radical o la cabeza: mientras el socle agrupa submódulos simples mínimos en la base, la cabeza es el cociente semisimple máximo en la parte superior; un socle nulo indica ausencia de submódulos simples. ## Límite Límite Se define en categorías abelianas donde existen objetos simples y sumas directas, típicamente módulos sobre anillos y representaciones de álgebras; no tiene sentido en contextos sin noción de objeto simple o sumas directas. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión con la dicotomía radical/cabeza: ambos se relacionan con la semisimplificación pero ocupan posiciones opuestas en una filtración; también está próximo a la envolvente inyectiva, dado que el socle se inserta en ella. ## Síntesis Síntesis El socle es el subobjeto semisimple máximo formado por la suma de todos los submódulos simples; constituye la capa basal de la descomposición semisimple de un módulo y guía el análisis estructural y homológico.