## [Longitud de Loewy](/es/node/62383) Definición El número de capas no nulas en la serie de Loewy (serie radical) de un módulo o álgebra: el menor entero n tal que el n-ésimo término de la serie de Loewy es igual al módulo completo, midiendo la profundidad de los cocientes radicales sucesivos hasta alcanzar un objeto semisimple. ## Principio Principio Partiendo del soclo e iterando la formación de cocientes sucesivos por el radical (o, dualmente, iterando potencias del radical), la serie de Loewy estratifica un módulo en capas semisimples; la longitud de Loewy cuenta estas capas y refleja cuánto se aleja el módulo de ser semisimple. ## Demostración Demostración Sobre la álgebra local artiniana k[x]/(x^n), el módulo regular tiene longitud de Loewy n porque las potencias sucesivas del radical (generado por x) producen n capas no nulas antes de llegar a cero; un módulo semisimple tiene longitud de Loewy 1. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir la longitud de Loewy con la longitud de composición (que cuenta factores simples en una serie de composición) o usar la longitud de Loewy sin asegurar que el módulo sea artiniano, donde la serie de Loewy puede no estabilizarse. ## Consecuencia Consecuencia La longitud de Loewy finita implica una estructura artiniana (y a menudo noetheriana) con una filtración semisimple finita; conocerla restringe grupos de extensiones y dimensiones homológicas y orienta la clasificación de módulos. ## Inversión Inversión Longitud de Loewy infinita corresponde a módulos cuya serie radical no termina, indicando una estructura no semisimple de profundidad infinita; en el extremo opuesto, longitud 1 equivale a semisimplicidad. ## Límite Límite Se aplica a módulos sobre anillos donde los radicales y soclos están bien comportados, típicamente anillos artinianos y álgebras de dimensión finita; excluye módulos generales sobre anillos con cadenas descendentes infinitas o sin serie radical finita. ## Tensión semántica Tensión semántica Compite con la longitud de composición y los índices de nilpotencia del radical: la longitud de Loewy mide la estratificación semisimple mientras que la longitud de composición cuenta factores simples; ambos están relacionados pero dan información diferente. ## Síntesis Síntesis La longitud de Loewy es el número finito de capas semisimples obtenidas por iteración de las construcciones de soclo/radical, proporcionando una medida de profundidad de cómo un módulo se descompone en piezas semisimples sucesivas.