##  [Número de Clases](/es/node/62379) 

 Definición

La cardinalidad del grupo de clases de ideales de un cuerpo de números o dominio de Dedekind; cuenta las clases de equivalencia de ideales fraccionarios no nulos modulo ideales principales y cuantifica la falta de principialidad de los ideales.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El grupo de clases de ideales es el cociente del grupo de ideales fraccionarios por el subgrupo de ideales principales; su orden (el número de clases) mide el obstáculo para que los ideales sean principales y, por tanto, la desviación respecto a la factorización única a nivel de elementos.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para el anillo de enteros de Q(√−5) el número de clases es 2, manifestado por ideales no principales (por ejemplo los generados por 2 y 1+√−5), mientras que Z y el anillo de enteros de Q(i) tienen número de clases 1, de modo que todos sus ideales son principales.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Confundir el número de clases con el número de factores primos de un elemento, o aplicar la noción propia de dominios de Dedekind a anillos que no cumplen las hipótesis necesarias.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Un número de clases igual a 1 implica que todo ideal no nulo es principal; un número de clases finito constituye una obstrucción finita que aparece en fórmulas analíticas (como la fórmula del número de clases) y condiciona propiedades aritméticas como la factorización de elementos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un número de clases grande o infinito indica muchas clases de ideales no equivalentes y un alejamiento pronunciado del comportamiento de ideales principales; en contraste, 1 es el caso de obstrucción mínima.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se define para dominios de Dedekind y cuerpos de números (o, más generalmente, para dominios con un grupo de clases de ideales bien definido); no se aplica directamente a anillos no conmutativos ni a estructuras sin una teoría útil de ideales fraccionarios.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Se distingue de recuentos ingenuos de tipos de factorización y de invariantes del grupo de unidades (como el regulador); el número de clases estrecho puede diferir del ordinario, creando una noción cercana pero diferente.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El número de clases es el invariante cardinal de un dominio de Dedekind que registra cuántas clases de ideales no son principales y mide, por tanto, hasta qué punto falla la factorización ideal única.