## [Discriminante](/es/node/62377) Definición Invariante escalar asociada a un polinomio, ecuación algebraica u objeto algebraico (por ejemplo, cuerpo de números, forma bilineal) que se anula exactamente cuando las raíces colisionan (raíces múltiples) y que codifica información aritmética y de ramificación; a menudo se calcula como determinante o como producto de cuadrados de diferencias de raíces. ## Principio Principio Formular el discriminante mediante construcciones por resultante/determinante o mediante el determinante de la forma traza o el hessiano; su anulación equivale a inseparabilidad o singularidad en muchos contextos, y su valoración registra datos de ramificación. ## Demostración Demostración Para el cuadrático ax^2 + bx + c, el discriminante es b^2 - 4ac: se anula exactamente cuando el polinomio tiene una raíz doble. En teoría de cuerpos de números, el discriminante del campo es un entero cuya factorización refleja la ramificación de primos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar el signo o la magnitud del discriminante como único indicador de propiedades geométricas sin tener en cuenta la escala, la elección de base o las unidades puede inducir a error; en característica positiva la anulación puede requerir comprobar fenómenos de inseparabilidad más allá de la multiplicidad sencilla de raíces. ## Consecuencia Consecuencia Un discriminante no nulo implica separabilidad de las raíces y a menudo ausencia de ramificación en primos que no dividen el discriminante; los valores del discriminante restringen bases enteras y el comportamiento local de las extensiones. ## Inversión Inversión El invariante complementario es la resultante o el diferente: la resultante prueba raíces comunes de dos polinomios, mientras que el diferente/discriminante refina la ramificación y datos tipo conductor más que la mera colisión de raíces. ## Límite Límite El discriminante depende de la presentación elegida (polinomio vs base algebraica) y está bien definido salvo escalado previsible por potencias del coeficiente principal o unidades; hay que tener cuidado al comparar discriminantes con normalizaciones distintas. ## Tensión semántica Tensión semántica El discriminante se solapa con resultante, diferente y nociones de determinante de la traza; aunque todos detectan degeneración, enfatizan distintos aspectos estructurales (raíces comunes vs pesos de ramificación vs degeneración bilineal). ## Síntesis Síntesis El discriminante es el escalar de tipo determinante que detecta la colisión de raíces y codifica información de ramificación y singularidad; como invariante calculable vincula la degeneración algebraica con consecuencias aritméticas cuando se interpreta junto con los datos de normalización.