##  [Longitud Derivada](/es/node/62369) 

 Definición

Número de etapas sucesivas no triviales de subgrupos derivados (o subálgebras de conmutadores) en la serie derivada necesarias para alcanzar el subgrupo trivial (o la subálgebra nula); cuantifica cuántos pasos de conmutadores se requieren y mide la solvabilidad.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Iterar la operación de conmutador para formar una cadena descendente; la longitud derivada es el índice en que esa cadena alcanza por primera vez lo trivial. Longitud derivada finita equivale a solvabilidad.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para S3, el subgrupo derivado es A3 (cíclico de orden 3) y el derivado de A3 es trivial, por lo que S3 tiene longitud derivada 2. Un grupo abeliano tiene longitud derivada 1.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar de aplicar la longitud derivada como número finito a grupos no resolubles (en vez de considerarla infinita/indefinida) o confundirla con la longitud de composición o la clase de nilpotencia lleva a conclusiones erróneas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Una longitud derivada finita implica que el grupo o álgebra de Lie es resoluble y restringe los posibles factores de composición; muchos argumentos inductivos usan esta cota para limitar la complejidad.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Invertido, el foco recae en la serie central inferior y la clase de nilpotencia: la nilpotencia mide conmutadores con toda la estructura, mientras que la longitud derivada mide conmutadores iterados del subobjeto derivado precedente.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida para grupos o álgebras de Lie donde los subobjetos derivados tienen sentido; para objetos no resolubles la serie derivada puede no alcanzar lo trivial (a menudo descrito como infinito). Se distingue de invariantes de series de composición y de la serie central inferior.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

La longitud derivada compite con la clase de nilpotencia y la longitud de composición: todos miden la ‘no simplicidad’ pero usan esquemas de iteración distintos y ofrecen restricciones estructurales distintas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La longitud derivada es el número mínimo de iteraciones de conmutadores necesarias para anular un grupo o álgebra de Lie; caracteriza la solvabilidad mediante el conteo de etapas de la serie derivada y debe considerarse junto con otros invariantes estructurales.