## [Descomposición de Jordan](/es/node/62360) Definición Procedimiento que expresa un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimensión finita (sobre un cuerpo adecuado) como suma directa de bloques de Jordan, o equivalentemente descompone el endomorfismo en la suma conmutativa de una parte semisimple (diagonalizable) y una parte nilpotente que comparten los mismos subespacios generalizados de autovalores. ## Principio Principio Separar el comportamiento espectral (semisimple) del comportamiento nilpotente para escribir el operador como s+n con s semisimple, n nilpotente y [s,n]=0; sobre cuerpos algebraicamente cerrados esto proporciona una descomposición canónica de bloques, definida salvo ordenación. ## Demostración Demostración Sobre los complejos, una matriz 3×3 con polinomio característico (λ−2)^3 puede conjugarse a una matriz de Jordan con un bloque 3×3 (parte nilpotente no nula) o a una matriz diagonal cuando todos los bloques de Jordan son 1×1; equivalentemente la matriz es la suma de su parte diagonalizable (s) y su parte nilpotente (n) que conmutan. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar la descomposición de Jordan sin comprobar hipótesis: intentar la forma normal de Jordan sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado, o forzar la descomposición en situaciones de dimensión infinita sin una descomposición de los subespacios generalizados de autovalores. ## Consecuencia Consecuencia Cuando es aplicable, la descomposición ofrece una descripción canónica del operador, facilita el cálculo de funciones del operador (por ejemplo exponencial o evaluación de polinomios) y aclara la estructura de subespacios invariantes y la clasificación por semejanza. ## Inversión Inversión La inversión es considerar el operador únicamente como 'diagonalizable' (semisimple) o únicamente como 'nilpotente'; los extremos son operadores puramente semisimple (parte nilpotente nula) frente a puramente nilpotentes (parte semisimple trivial). ## Límite Límite Se aplica principalmente a endomorfismos lineales de espacios vectoriales de dimensión finita cuyo polinomio minimal se factoriza; excluye aplicaciones no lineales, operadores sin cuerpo de factorización y muchos operadores en dimensión infinita salvo hipótesis espectrales adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la forma normal de Jordan (forma canónica a nivel de matriz sobre cuerpos algebraicamente cerrados) y la forma canónica racional (válida sobre cuerpos arbitrarios); ambas descomponen la estructura pero difieren en unicidad y dependencia del cuerpo. ## Síntesis Síntesis La descomposición de Jordan organiza un operador lineal en componentes semisimple y nilpotente que conmutan (o en bloques de Jordan explícitos), permitiendo tratar separadamente la multiplicidad espectral y la nilpotencia en los subespacios generalizados para clasificación y cómputo.