##  [Cambio de Base](/es/node/62357) 

 Definición

Aplicar una transformación lineal invertible para expresar vectores, formas multilíneares u operadores lineales respecto a una base distinta elegida, obteniendo nuevas representaciones de coordenadas relacionadas por la matriz de cambio de base.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Las coordenadas se transforman contravariantemente para vectores y covariantemente para objetos duales; las matrices que representan operadores lineales se transforman por similitud (P^{-1}AP) bajo un cambio de base P, mientras que las propiedades intrínsecas (rango, multiconjunto de valores propios, determinante hasta unidades) permanecen invariantes.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En R^2, cambiar de la base estándar a una base rotada por un ángulo θ equivale a multiplicar vectores columna de coordenadas por la matriz de rotación R(θ); la matriz del operador en la base rotada es R(θ)^{-1} A R(θ).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar el cambio de base como si alterara la acción intrínseca de un operador en lugar de solo su representación; no transformar adecuadamente covectores, formas u objetos dependientes de coordenadas (por ejemplo, dejar la base dual sin cambiar).

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Elegir una base conveniente puede simplificar cálculos (formas dispersas o canónicas), revelar subespacios invariantes y permitir formas normales canónicas (Jordan, racional, diagonalización ortogonal) que aclaran la estructura y facilitan operaciones como la exponenciación matricial.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Aplicar la matriz inversa del cambio de base restaura la representación de coordenadas original; la composición de cambios de base corresponde a la multiplicación de las matrices invertibles correspondientes.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere una transformación lineal invertible (la matriz de cambio de base debe ser no singular). No se aplica a cambios de coordenadas no lineales ni a objetos sin estructura lineal; tener cuidado sobre anillos que no sean cuerpos pues la invertibilidad puede fallar.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la visión pasiva (cambio de coordenadas) y la activa (mover vectores): las mismas fórmulas representan bien una relabelación de coordenadas o una transformación real de vectores. También tensión entre cambio de base y clasificación por similitud: las clases de similitud clasifican matrices independientemente de la base, mientras los cambios de base ofrecen representantes concretos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El cambio de base es la operación algebraica de reexpresar datos lineales bajo otro sistema de coordenadas mediante una matriz invertible; preserva la estructura lineal intrínseca mientras modifica las representaciones para poner de manifiesto ventajas computacionales o estructurales.