## [Borde de Gromov](/es/node/62276) Definición El conjunto de clases de equivalencia de rayos geodésicos en un espacio métrico hiperbólico en el sentido de Gromov, donde dos rayos son equivalentes si permanecen a distancia acotada; codifica las direcciones asintóticas y la geometría a gran escala en el infinito. ## Principio Principio Identificar puntos en el infinito agrupando rayos geodésicos que viajan juntos hasta un error acotado; el borde es un invariante por quasiisometría que capta la estructura a gran escala, no la local. ## Demostración Demostración En el plano hiperbólico H2, los rayos geodésicos corresponden a puntos ideales y el borde de Gromov es homeomorfo a una circunferencia; para el grafo de Cayley de un grupo libre finitamente generado, el borde es un conjunto de Cantor. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar el borde de Gromov como idéntico al borde de la completación métrica o al borde topológico de un incrustamiento; o calcularlo a partir de métricas sensibles a la geometría local en lugar del comportamiento quasi-geodésico a gran escala. ## Consecuencia Consecuencia Una identificación correcta produce un borde topológico compacto con una dinámica inducida por isometrías; informa sobre rigidez, estructura quasi-conforme en el infinito y clasificación de quasiisometrías. ## Inversión Inversión En lugar de agrupar rayos que permanecen cercanos, se podría separar rayos por su comportamiento divergente para obtener una clasificación de tipo interior; esa inversión hace que la noción sea sensible a la geometría local y pierda la invariancia por quasiisometría. ## Límite Límite Se aplica solo a espacios hiperbolicos en el sentido de Gromov (curvatura negativa a gran escala) y en marcos quasi-geodésicos; excluye espacios no hiperbólicos (espacios euclidianos, espacios simétricos de rango superior) donde la construcción es trivial o inadecuada. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión con el borde visual definido mediante una métrica o punto base específico y con el conjunto límite de un grupo de isometrías; pueden coincidir en muchos casos pero difieren en la sensibilidad a la métrica y a la estructura a gran escala. ## Síntesis Síntesis El borde de Gromov es la compactificación a gran escala, invariante por quasiisometría, de un espacio hiperbólico, formada al identificar rayos geodésicos que viajan juntos y que codifica la geometría asintótica del espacio.