## [Retracción por Deformación](/es/node/62233) Definición Una homotopía H: X × [0,1] → X que deforma continuamente un espacio topológico X sobre un subespacio A tal que H(x,0)=x, H(x,1) ∈ A para todo x∈X, y H(a,t)=a para todo a∈A y todo t; tal homotopía muestra que A es un retracto por deformación de X y proporciona una equivalencia de homotopía fuerte. ## Principio Principio Producir una homotopía que fije punto por punto el subespacio mientras contrae su complemento dentro de él, realizando así una forma fuerte de equivalencia entre el espacio mayor y el subespacio. ## Demostración Demostración Por ejemplo, el disco unidad D^n se retrae por deformación hacia su centro: definir H(x,t) = (1−t)x que fija el centro y desplaza radialmente los demás puntos hacia él, dando una retracción por deformación sobre un punto. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Denominar cualquier colapso continuo retracción por deformación sin suministrar la homotopía que fija punto por punto el subespacio o respeta las condiciones finales conduce a afirmaciones falsas de equivalencia de homotopía. ## Consecuencia Consecuencia Si A es retracción por deformación de X, la inclusión A ↪ X es una equivalencia de homotopía que induce isomorfismos en todos los grupos de homotopía y homología, simplificando la clasificación y los cálculos. ## Inversión Inversión El reverso es una inclusión de subespacio que carece de una homotopía que fije el subespacio y retraiga el espacio ambiente; tal inclusión puede no inducir isomorfismos en los grupos de homotopía. ## Límite Límite Se aplica en contextos homotópicos de espacios topológicos donde existen homotopías continuas; excluye nociones más débiles como equivalencia de homotopía sin una homotopía punto-fijada especificada y espacios sin topología razonable. ## Tensión semántica Tensión semántica La tensión aparece frente a la noción más amplia de equivalencia de homotopía: toda retracción por deformación da una equivalencia de homotopía, pero no toda equivalencia de homotopía proviene de una retracción por deformación, por lo que son conceptos relacionados pero distintos. ## Síntesis Síntesis Una retracción por deformación es una homotopía explícita que colapsa un espacio sobre un subespacio fijándolo punto por punto; es un testimonio concreto y fuerte de equivalencia de homotopía que permite reemplazar X por A para cálculos.