## [Dualidad de Alexander](/es/node/62218) Definición Un teorema de dualidad que relaciona los grupos de homología reducida de un subconjunto compacto A de la esfera S^n con los grupos de cohomología reducida de su complemento S^n \ A, típicamente expresado por un isomorfismo H~_i(A) ≅ H~^{n-i-1}(S^n \ A). ## Principio Principio La información homologíca sobre un subconjunto compacto en una esfera está codificada de forma dual en la cohomología de su complemento; quitar A de la esfera intercambia las dimensiones homológicas conforme a la dimensión de la esfera. ## Demostración Demostración Si A es una unión finita de puntos en S^2, la homología reducida H~_0(A) (que cuenta las componentes de A menos una) corresponde por dualidad de Alexander a H~^{1}(S^2 \ A), de modo que el complemento tiene cohomología en grado uno asociada a ciclos que enlazan esos puntos; esto permite cálculos concretos para complementos de conjuntos de puntos o nudos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la dualidad de Alexander para subconjuntos que no son compactos en la esfera, o olvidar usar (co)homología reducida; aplicar la fórmula ingenuamente en el espacio euclidiano sin pasar por la compactificación por un punto puede producir desplazamientos de grado incorrectos. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona una herramienta computacional eficaz: se pueden calcular invariantes de complementos (importantes en teoría de nudos y topología de complementos) a partir de invariantes del subconjunto, y viceversa, imponiendo restricciones sobre posibles incrustaciones y fenómenos de enlace. ## Inversión Inversión En sentido inverso, las clases de cohomología del complemento detectan clases de homología del subconjunto; la dualidad de Alexander permite deducir propiedades de A a partir de S^n \ A, convirtiendo cálculos sobre el complemento en información directa sobre A. ## Límite Límite Se cumple para subconjuntos compactos de S^n (o subconjuntos localmente compactos de R^n tras la compactificación por un punto) y hace uso de (co)homología reducida; no se aplica sin modificación a subconjuntos no compactos arbitrarios ni a variedades ambiente no esféricas sin hipótesis adicionales (pueden requerirse marcos de Lefschetz o Poincaré). ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se compara con las dualidades de Poincaré y Lefschetz; la tensión surge porque Alexander trata el par subconjunto/complemento en una esfera, mientras que Poincaré/Lefschetz tratan la (co)homología de una variedad completa, por lo que los teoremas están relacionados pero se aplican en contextos distintos con hipótesis distintas. ## Síntesis Síntesis La Dualidad de Alexander afirma, en síntesis, que los datos homológicos de un subconjunto compacto de una esfera y los datos cohomológicos de su complemento son duales: calcular uno proporciona el otro mediante un desplazamiento de grado previsible ligado a la dimensión de la esfera ambiente, principio usado ampliamente en problemas de complementos e incrustaciones.