##  [Lema de Urysohn](/es/node/62206) 

 Definición

En un espacio topológico normal, dos conjuntos cerrados disjuntos pueden separarse por una función continua de valor real: existe f : X → [0,1] continua con f = 0 en uno y f = 1 en el otro.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La normalidad proporciona vecindarios abiertos suficientes para construir una función continua que interpole valores constantes prescritos sobre dos cerrados disjuntos; la existencia de tales funciones organiza las propiedades de separación mediante aplicaciones continuas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En R con la topología usual (normal), para A = [−1,0] y B = [1,2] se puede definir una función lineal por tramos f : R → [0,1] que vale 0 en A, 1 en B y realiza una transición lineal en [0,1], mostrando el lema de forma concreta.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el enunciado en un espacio no normal esperando producir un separador continuo global; o intentar separar conjuntos cerrados que se intersecan.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona herramientas de funciones continuas separadoras, posibilitando construcciones como particiones de la unidad, ayudando a teoremas de extensión y a inmersiones en productos de intervalos reales.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

A la inversa: si cada par de cerrados disjuntos puede separarse mediante una función continua con valores en [0,1], entonces el espacio satisface las propiedades de separación que caracterizan la normalidad (hay equivalencias bajo hipótesis T1 habituales).

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Exige que el espacio sea normal y que los conjuntos sean cerrados y disjuntos; trata sobre mapas en [0,1] (o R) y no se aplica a conjuntos no cerrados, solapados o a espacios sin normalidad.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Resultados cercanos incluyen el teorema de extensión de Tietze: Urysohn construye una función separadora entre dos cerrados, mientras que Tietze extiende una función continua dada en un cerrado; confundir ambos produce errores conceptuales.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El Lema de Urysohn afirma que la normalidad permite construir funciones continuas con valores en [0,1] que toman valores constantes prescritos en dos cerrados disjuntos, siendo una herramienta básica para la separación funcional y la construcción continua.