## [Conexidad Local](/es/node/62186) Definición Propiedad topológica que exige que cada punto tenga una base de vecindades formada por conjuntos abiertos conexos; equivalentemente, cada punto posee vecindades conexas arbitrariamente pequeñas. ## Principio Principio La conexidad local controla la topología local: se pueden elegir vecindades conexas, lo que implica que las componentes de conjuntos abiertos son abiertas y simplifica la relación entre componentes y componentes por caminos; la conexidad local es una hipótesis de regularidad local usada en teoremas de descomposición. ## Demostración Demostración Ejemplo: el espacio euclidiano R^n es localmente conexo porque las pequeñas bolas abiertas alrededor de cualquier punto son conexas. Contraejemplo: el peine del topólogo tiene puntos de acumulación sin vecindades conexas arbitrariamente pequeñas, por lo que no es localmente conexo. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que la conexidad del espacio entero implica conexidad local, o que la conexidad local implica conexidad por caminos; confundir conexidad local con la apertura de las componentes sin comprobar la condición de base de vecindades. ## Consecuencia Consecuencia En un espacio localmente conexo, las componentes de los abiertos son abiertas, y en espacios localmente conexos por caminos las componentes por caminos coinciden con las componentes; la conexidad local facilita argumentos inductivos y procedimientos de pegado que requieren vecindades conexas. ## Inversión Inversión Los espacios no localmente conexos tienen puntos cuyas vecindades suficientemente pequeñas son desconectadas; tales espacios pueden ser globalmente conexos pero presentar una estructura muy desconectada a escala fina (por ejemplo, ciertos fractales o ejemplos tipo peine). ## Límite Límite Propiedad de espacios topológicos relativa a bases de vecindades; no se deduce de la mera conexidad y difiere de la conexidad local por caminos (más fuerte). Se aplica a bases de abiertos y no impone compacidad o finitud global. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo contrastada con la conexidad local por caminos: esta última exige vecindades conexas por caminos y es más fuerte; la conexidad local queda entre la conexidad global y propiedades locales más fuertes, generando tensiones al elegir hipótesis para teoremas. ## Síntesis Síntesis La Conexidad Local exige que cada punto tenga una base de vecindades abiertas conexas; es una condición de regularidad local que hace que las componentes de abiertos sean abiertas y facilita el paso de información local a conclusiones topológicas globales.