## [Conexidad por Caminos](/es/node/62184) Definición Propiedad de un espacio topológico X según la cual cada par de puntos x,y en X puede unirse mediante una aplicación continua γ:[0,1]→X con γ(0)=x y γ(1)=y; también denominada conexidad por caminos. ## Principio Principio La conexidad por caminos exige la existencia de caminos continuos entre cualesquiera dos puntos; es una condición más fuerte que la conexidad y, en espacios localmente conexos por caminos, las componentes por caminos son abiertas y coinciden con las componentes. ## Demostración Demostración Ejemplo: R^n es conexo por caminos porque para x,y la recta γ(t)=(1−t)x+ty es un camino continuo de x a y. El círculo S^1 es conexo por caminos mediante parametrizaciones por longitud de arco. Un contraejemplo clásico: el peine del topólogo es conexo pero no por caminos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la conexidad implica siempre conexidad por caminos; no comprobar la continuidad de un 'camino' propuesto (por ejemplo, fórmulas por tramos con saltos) o ignorar la parametrización que falla en los extremos. ## Consecuencia Consecuencia Los espacios conexos por caminos son conexos y muchas invariantes de la topología algebraica (grupo fundamental, teoría de recubrimientos) se definen usando clases de homotopía de caminos; la conexidad por caminos permite argumentos de levantamiento y homotopía que requieren caminos explícitos. ## Inversión Inversión Espacios que son conexos pero no por caminos: existen puntos que no pueden unirse por un camino continuo; el reverso extremo son espacios totalmente sin caminos no triviales entre puntos distintos. ## Límite Límite Definida para espacios topológicos; requiere aplicaciones continuas desde el intervalo unidad. No cuantifica el número de clases de homotopía de caminos (relacionado con el grupo fundamental) y excluye formas más débiles como la conexidad local por caminos salvo que se especifique. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión con la mera conexidad: la conexidad por caminos es constructiva y sirve a la teoría de la homotopía, mientras que la conexidad es una noción basada en separaciones; también se relaciona con la conexidad local por caminos, que garantiza la apertura de las componentes por caminos. ## Síntesis Síntesis La Conexidad por Caminos exige que cualquier par de puntos pueda unirse mediante un camino continuo; es una fuerte versión constructiva de la conexidad que fundamenta argumentos homotópicos basados en caminos.