## [Cono Topológico](/es/node/62171) Definición El cono CX sobre un espacio topológico X es el cociente de X×[0,1] obtenido al colapsar X×{0} a un único punto, llamado ápice; X×{1} es la base y el cono contrae X hacia el ápice a lo largo de radios. ## Principio Principio Colapsar un extremo de un cilindro sobre X a un punto produce un ápice contractible unido a X; la construcción del cono convierte cualquier espacio en uno contractible respecto al ápice mientras mantiene la base como subespacio. ## Demostración Demostración Para cualquier espacio X, CX contiene una copia de X en la altura 1 y un único ápice en la altura 0; para X=S^n, el cono CS^n es homeomorfo a la bola D^{n+1}, que es contractible. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir el cono con la suspensión colapsando ambos extremos, o no distinguir entre cono reducido y no reducido, conduce a conclusiones erróneas en homotopía; colapsar un subconjunto propio de X×{0} en lugar de la rebanada entera cambia drásticamente la topología. ## Consecuencia Consecuencia La construcción del cono produce un espacio contractible siempre que X no esté vacío; los conos se usan para formar homotopías, construir conos de mapeo y realizar adjuntos celulares relativos en construcciones CW. ## Inversión Inversión La operación inversa es recuperar la base del cono o quitar el ápice; aunque a menudo se puede retraer un cono sobre su base, el ápice es contractible, por lo que la inversa no recupera en general el espacio original hasta homeomorfismo. ## Límite Límite Las afirmaciones que dependen de un punto base o de sucesiones exactas de homotopía exigen cuidado: los conos son contractibles independientemente del punto base, pero las nociones de cono de mapeo y cono reducido requieren aplicaciones apuntadas o cocientes cuidados; topologías patológicas pueden romper intuiciones ingenuas. ## Tensión semántica Tensión semántica Cono y suspensión son conceptos cercanos: el cono colapsa un solo extremo y produce un ápice contractible, mientras la suspensión colapsa ambos extremos y genera dos puntos distinguidos con diferente comportamiento homotópico. ## Síntesis Síntesis El cono sobre X es el cociente de X×[0,1] que colapsa X×{0} a un ápice, produciendo un espacio con X como base y un ápice que hace que todo el cono sea contractible; los conos son bloques básicos para homotopías y construcciones de cofibra.