##  [Espacio de Sierpiński](/es/node/62158) 

 Definición

El espacio de Sierpiński es el espacio topológico de dos puntos S = {0,1} con conjuntos abiertos ∅, S y {1} (o equivalentemente con exactamente un singleton abierto no trivial); es el menor ejemplo no trivial T0 y un ejemplo básico en topología e informática teórica.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Sirve como clasificador de abiertos: las aplicaciones continuas X → S corresponden a subconjuntos abiertos de X mediante la imagen inversa del singleton abierto distinguido; S codifica la 'veracidad' de la apertura y presenta separación mínima (T0 pero no T1).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para cualquier espacio X y abierto U ⊆ X la aplicación característica χ_U: X → S que envía puntos de U a 1 y otros a 0 es continua; así S representa indicadores de abiertos en muchos argumentos categóricos.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Confundir S con el espacio discreto de dos puntos o con un espacio T1 de dos puntos conduce a conclusiones erróneas sobre separación y continuidad; muchas construcciones usan que el singleton asimétrico es abierto pero no cerrado.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Reconocer S correctamente aclara construcciones de semánticas topológicas, proporciona contraejemplos sencillos (p. ej. para T1 o Hausdorff) y ofrece un codominio mínimo no trivial para funciones indicadoras continuas de abiertos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

El reverso es el espacio discreto de dos puntos, donde ambos singletons son abiertos (y cerrados); a diferencia de S, el espacio discreto es T1 y Hausdorff, perdiendo la asimetría mínima característica de S.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Espacio topológico finito y específico; su comportamiento está completamente determinado por el singleton abierto elegido y no representa fenómenos de mayor cardinalidad aunque aparece naturalmente en argumentos categóricos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre S como clasificador minimal de abiertos y otros espacios de dos puntos (discreto, indiscreto): la propiedad clave es el único abierto no trivial, que distingue a S de ejemplos simétricos de dos puntos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El espacio de Sierpiński es el espacio asimétrico de dos puntos cuyo único singleton abierto no trivial lo convierte en el ejemplo canónico minimal T0 y en el clasificador natural de abiertos mediante aplicaciones características continuas.