## [Ultrafiltro](/es/node/62146) Definición Un filtro U sobre un conjunto X que es maximal respecto a la inclusión: no existe un filtro estrictamente mayor en X que contenga a U. Equivalente: para todo subconjunto A de X se cumple o bien A ∈ U o bien X\A ∈ U, dando una decisión binaria para cada subconjunto. ## Principio Principio Los ultrafiltros codifican una noción decisiva de grandeza: la maximalidad fuerza una partición binaria de la potencia en miembros y complementos. Esta maximalidad es la base de aplicaciones que requieren elegir un 'límite' o un valor de verdad genérico para cada propiedad. ## Demostración Demostración Un ultrafiltro principal en x ∈ X es {A ⊆ X : x ∈ A}. Los ultrafiltros no principales (libres) en conjuntos infinitos existen bajo el Lema del Ultrafiltro (equivalente a una forma débil del axioma de elección) y se usan para construir límites según un ultrafiltro, ultraproductos y la compactificación de Stone–Čech. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que todo ultrafiltro es principal, presuponer la existencia de ultrafiltros no principales sin el principio de elección necesario, o tratar la convergencia por ultrafiltro como única en espacios que admiten múltiples límites ultrafiltrales son errores comunes. ## Consecuencia Consecuencia Los ultrafiltros proporcionan evaluaciones booleanas de todos los subconjuntos y aportan herramientas potentes de compacidad y extensión: por ejemplo, cada ultrafiltro en un conjunto de índices produce un ultraproducto, y la compacidad de ciertos espacios puede caracterizarse por la existencia de puntos límite para filtros y ultrafiltros. ## Inversión Inversión La visión dual intercambia pertenencia por exclusión, conduciendo a ideales maximales en el álgebra booleana de subconjuntos; los complementos de ultrafiltros son ideales primos. Invertir la maximalidad produce filtros propios no decisivos que no separan cada subconjunto de su complemento. ## Límite Límite Los ultrafiltros se definen sobre un conjunto subyacente fijo y pueden ser principales o no principales; la existencia de ultrafiltros no principales es independiente de ZF y suele apoyarse en principios parecidos a la elección. Los ultrafiltros son objetos más potentes que los filtros generales y no son necesarios en muchos argumentos topológicos elementales. ## Tensión semántica Tensión semántica Ultrafiltro (filtro maximal) puede confundirse con el adjetivo vulgar 'ultra' o con ideales maximales en álgebras booleanas; la tensión matemática precisa es entre ultrafiltros principales (generados por puntos) y no principales (libres), que difieren notablemente en construcción y consecuencias. ## Síntesis Síntesis Un ultrafiltro es un filtro maximal y decisivo: extiende la noción de grandeza a una elección binaria para cada subconjunto, generando evaluaciones binarias, permitiendo ultraproductos y sirviendo como herramienta extremal potente en topología, teoría de modelos y argumentos de compacidad.