##  [Subbase](/es/node/62141) 

 Definición

Una colección S de subconjuntos de un conjunto X cuyas intersecciones finitas forman una base para una topología en X; la topología generada por S es la colección de uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de S.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Generar una topología cerrando primero S bajo intersecciones finitas para obtener una base y luego tomando uniones arbitrarias; S sirve como una familia generadora frecuentemente mínima que simplifica descripciones y pruebas (por ejemplo, el teorema de la subbase de Alexander).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: en R la colección de rayos de la forma (−∞,a) y (b,∞) es una subbase; las intersecciones finitas producen intervalos abiertos (a,b) que forman una base y las uniones de éstos dan la topología usual.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que uniones finitas de elementos de la subbase bastan para formar la topología o no tomar intersecciones antes de las uniones; confundir elementos de subbase con elementos de base y así calcular mal los abiertos generados.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las subbases proporcionan generadores flexibles para topologías y desempeñan un papel central en criterios de compacidad (teorema de la subbase de Alexander), haciendo que algunos argumentos de existencia y compacidad sean más manejables que trabajar directamente con bases.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Partiendo de una base se puede ver que ésta proviene de una subbase al descomponer elementos de la base en uniones de intersecciones finitas; a la inversa, pasar de una subbase a la base generada hace explícito el paso de intersección finita requerido.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Una subbase no necesita consistir a priori en conjuntos abiertos; es un dispositivo generador — solo después de formar la topología generada los elementos pasan a ser abiertos. Las subbases se distinguen de bases de vecindad y de generadores arbitrarios que no respetan el procedimiento intersección finita→unión.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con 'base': una subbase es más débil y primitiva — toda base es una subbase pero no al revés; con 'conjunto generador' también hay tensión sobre la minimalidad y el orden de las operaciones intersección frente a unión.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una subbase es una colección generadora cuyas intersecciones finitas producen una base y cuyas uniones arbitrarias generan la topología; es un descriptor compacto y a menudo minimalista de una topología que se convierte en herramienta práctica en construcciones y argumentos de compacidad.