## [Funciones de Altura](/es/node/62065) Definición Familia de medidas aritméticas que asignan un número real no negativo a números algebraicos o puntos racionales en variedades, cuantificando su complejidad aritmética y crecimiento. Ejemplos habituales son las alturas ingenuas en coordenadas proyectivas, la altura de Weil y las alturas canónicas como la altura de Néron–Tate en variedades abelianas. ## Principio Principio Seguir y comparar el tamaño aritmético agregando contribuciones de todas las plazas de un cuerpo de números, usando valoraciones logarítmicas o normas homogéneas para obtener alturas que son functoriales salvo errores acotados. ## Demostración Demostración Para un punto racional en espacio proyectivo representado por enteros primos entre sí (x0:...:xn), la altura proyectiva ingenua es log max(|x0|,...,|xn|). En una curva elíptica, la altura canónica de Néron–Tate es una forma cuadrática que crece como el cuadrado de la multiplicación y se anula exactamente en los puntos de torsión. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar una altura definida solo en las plazas archimedias para acotar soluciones diofánticas globales, ignorando contribuciones p-ádicas que pueden dominar en algunas familias y provocando afirmaciones erróneas de finitud. ## Consecuencia Consecuencia Cuando se emplean correctamente, las alturas permiten resultados explícitos de finitud, enunciados de compacidad tipo Northcott, argumentos efectivos de descenso y cotas cuantitativas sobre soluciones de ecuaciones diofánticas. ## Inversión Inversión Ignorar las alturas conduce a afirmaciones puramente cualitativas o locales sobre puntos sin medida de tamaño aritmético; entonces no se puede controlar la distribución, probar finitud ni comparar familias eficazmente. ## Límite Límite Las alturas miden complejidad aritmética, no complejidad geométrica; requieren la elección de una inmersión o un fibrado lineal y están definidas a una constante O(1) según el modelo. No proporcionan automáticamente cotas algorítmicas sin estimaciones auxiliares. ## Tensión semántica Tensión semántica Las alturas compiten con nociones de tamaño ingenuo y con valoraciones locales: la dimensión ingenua es más sencilla pero no intrínseca, mientras que las valoraciones locales dan estructura fina pero deben ensamblarse para obtener una altura global. ## Síntesis Síntesis Las funciones de altura son medidas globales del tamaño aritmético ensambladas desde valoraciones o normas locales; convierten propiedades cualitativas en desigualdades cuantitativas y sustentan la finitud, el descenso y el conteo.