## [Ley de Reciprocidad Cuadrática](/es/node/62032) Definición Un resultado fundamental de la teoría elemental de números que relaciona la residuidad cuadrática entre dos primos impares distintos p y q mediante el símbolo de Legendre: (p/q)(q/p) = (-1)^{((p-1)/2)((q-1)/2)}; determina si p es residuo cuadrático módulo q en función de la cuestión inversa salvo por un signo explícito. ## Principio Principio La regla organizadora es una simetría de reciprocidad: la interacción de caracteres cuadráticos entre dos primos impares es simétrica salvo un signo calculable que depende de las clases de congruencia de los primos módulo 4. ## Demostración Demostración Ejemplo: tomar p=3 y q=11. Calcular los símbolos de Legendre (3/11) y (11/3); la ley predice que su producto es (-1)^{((3-1)/2)((11-1)/2)} = (-1)^{1*5} = -1, lo cual concuerda con los cálculos directos de residuidad cuadrática en cada módulo. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar la ley incluyendo el primo 2 o módulos compuestos sin pasar a símbolos generalizados, o usarla sin convertir a símbolos de Legendre o Jacobi conduce a pruebas de residuidad erróneas. Tratar la ley como una asignación directa de valores de residuidad en lugar de una relación entre símbolos también es un uso indebido. ## Consecuencia Consecuencia Su uso correcto reduce las pruebas de residuidad cuadrática entre grandes primos impares a cálculos menores y sustenta algoritmos de test de primalidad y la teoría de cuerpos de clase; organiza el comportamiento de los residuos cuadráticos y permite evaluaciones eficientes basadas en la reciprocidad. ## Inversión Inversión La reversión es pasar a leyes de reciprocidad de mayor orden (cúbica, biquadrática, etc.), donde la simetría persiste pero se requieren datos auxiliares y caracteres adicionales; esas leyes son análogas en estructura pero más complejas. ## Límite Límite Ámbito: la formulación clásica se aplica a primos impares distintos y al símbolo de Legendre; las extensiones requieren el uso del símbolo de Jacobi para compuestos o teoremas de reciprocidad generales en campos de números. La ley no determina directamente la residuidad módulo potencias de primos sin trabajo adicional. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la formulación con el símbolo de Legendre (primos) y la generalización con el símbolo de Jacobi (compuestos): un valor 1 del símbolo de Jacobi no garantiza residuidad, y confundirlos conduce a errores. También hay tensión entre demostraciones elementales e interpretaciones más profundas en teoría de cuerpos. ## Síntesis Síntesis La Ley de Reciprocidad Cuadrática es una afirmación precisa de simetría sobre los caracteres cuadráticos de primos impares: expresa cómo la pregunta «¿es p un cuadrado módulo q?» y su inversa son equivalentes salvo por un signo sencillo determinado por residuos módulo 4, ofreciendo una herramienta poderosa para decidir la residuidad cuadrática y fomentar leyes de reciprocidad superiores.