## [Teorema Fundamental de la Aritmética](/es/node/62027) Definición La afirmación de que todo entero mayor que uno se factoriza de forma única como producto de números primos, salvo el orden de los factores; los primos son los átomos multiplicativos de los enteros. ## Principio Principio Los primos actúan como bloques irreducibles y la multiplicación en Z admite factorización única, fundamento de la aritmética multiplicativa y de la clasificación estructural de los enteros. ## Demostración Demostración Ejemplo: 84 = 2^2 · 3 · 7, y ningún otro multiconjunto de primos produce 84; esta unicidad permite leer invariantes multiplicativos como el mcd y las valoraciones primarias. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer la misma unicidad en anillos arbitrarios de enteros algebraicos sin comprobar si el anillo es un dominio de factorización única; tratar elementos no-UFD como primos conduce a contradicciones. ## Consecuencia Consecuencia Permite argumentos basados en descomposición en la teoría de números: funciones multiplicativas, teoría de valoraciones, cálculos mcd/mcm y muchos métodos algorítmicos dependen de la factorización única en Z. ## Inversión Inversión En dominios sin factorización única, elementos pueden tener factorizaciones irreducibles distintas (no unicidad), mostrando el fallo del teorema fuera de Z y motivando el estudio de UFDs y grupos de clases. ## Límite Límite Se aplica exactamente al anillo de enteros Z para enteros positivos >1 (y se extiende a negativos si se consideran las unidades ±1); excluye cero, las unidades ±1 y no se extiende automáticamente a dominios integrales generales. ## Tensión semántica Tensión semántica Se relaciona pero difiere de la propiedad de ser un dominio de factorización única (UFD): el teorema es la afirmación UFD específica para Z, mientras que muchos anillos de enteros algebraicos no la cumplen, dando lugar a fenómenos aritméticos sutiles. ## Síntesis Síntesis El teorema fundamental de la aritmética afirma que los primos son los constituyentes multiplicativos únicos de los enteros >1, proporcionando la base estructural y combinatoria esencial de la teoría multiplicativa de números y de la factorización computacional.