##  [Densidad Logarítmica](/es/node/62022) 

 Definición

Una noción de densidad ponderada para un conjunto A de enteros positivos definida, cuando existe, por el límite x→∞ de (1 / log x) Σ_{n≤x, n∈A} 1/n; mide la proporción de A usando el peso armónico en lugar del conteo uniforme.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Emplear pesos armónicos 1/n para lograr invariancia de escala y enfatizar la estructura multiplicativa y los conjuntos delgados con suma recíproca divergente, incluso cuando la densidad natural es cero o indefinida.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para el conjunto de múltiplos de un entero m≥1 se tiene Σ_{n≤x, n∈A} 1/n ≍ (1/m) log x, por lo que la densidad logarítmica es 1/m. Esto muestra cómo las progresiones aritméticas reciben la proporción esperada con pesaje armónico.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Confundir densidad logarítmica con densidad natural; suponer la existencia del límite para conjuntos arbitrarios sin comprobar la oscilación de la suma armónica.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando existe, la densidad logarítmica da un invariante de tamaño fraccional robusto, estable bajo escalados multiplicativos y útil para conjuntos definidos por propiedades multiplicativas o de distribución.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

El complemento de A tiene densidad logarítmica 1 menos la densidad de A cuando ambas existen; sin embargo, ninguna existencia garantiza la de la otra.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica solo a subconjuntos de los enteros positivos y únicamente cuando existe el límite ponderado armónico; excluye conjuntos finitos y muchos conjuntos naturales cuyas sumas parciales ponderadas oscilan.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Compite con la densidad natural: la densidad natural cuenta los enteros por igual, mientras la densidad logarítmica pondera por 1/n, de modo que conjuntos con muchos elementos pequeños o con estructura multiplicativa pueden obtener valores distintos según la noción.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La densidad logarítmica es el análogo ponderado armónicamente de la densidad natural: reemplaza el conteo igual por pesos 1/n para revelar rasgos de distribución sensibles a la escala y a la multiplicatividad cuando la media armónica converge.