## [Coordenadas de Fenchel–Nielsen](/es/node/61952) Definición Un sistema global de coordenadas reales en el espacio de Teichmüller obtenido eligiendo una descomposición en pantalones de una superficie y registrando, para cada curva de la descomposición, un parámetro de longitud positivo (la longitud geodésica) y un parámetro de torsión real (cantidad de torsión relativa), dando en conjunto 6g−6 coordenadas reales para una superficie cerrada de género g≥2. ## Principio Principio Descomponer una superficie hiperbólica en pares de pantalones a lo largo de una colección máxima de geodésicas cerradas simples disjuntas; los módulos de la superficie se capturan mediante las longitudes de esas geodésicas y los parámetros de torsión de Fenchel–Nielsen que especifican cómo se pegan las componentes de frontera de los pantalones. ## Demostración Demostración Ejemplo: para una superficie cerrada de género 2 elige tres geodésicas cerradas simples disjuntas que dan una descomposición en pantalones; las tres longitudes y los tres parámetros de torsión determinan un punto único del espacio de Teichmüller y por tanto una métrica hiperbólica marcada única en la superficie. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar las coordenadas de Fenchel–Nielsen como canónicas e independientes de la descomposición: distintas descomposiciones proporcionan cartas coordenadas diferentes y hay que controlar los cambios de coordenadas; confundir el parámetro continuo de torsión con los giros discretos de Dehn del grupo de mapeo. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona coordenadas reales analíticas globales en el espacio de Teichmüller, facilita el estudio de la acción del grupo de mapeo, los flujos de terremoto y torsión, y ofrece una parametrización concreta útil para construir métricas y analizar fenómenos de degeneración. ## Inversión Inversión Inversión: en lugar de usar una descomposición corte‑y‑pega en pantalones para parametrizar el espacio de Teichmüller, usar coordenadas complejas‑analíticas como la inmersión de Bers o coordenadas de corte; estas parametrizaciones alternativas enfatizan la estructura compleja o las foliaciones medidas en lugar de los datos de longitud–torsión. ## Límite Límite Se aplica a superficies hiperbólicas de tipo finito (cerradas o con puntas) donde existe una descomposición máxima en pantalones; se requieren ajustes para superficies de tipo infinito, orbifolds o cuando se imponen estructuras adicionales (por ejemplo, laminaciones medidas marcadas) que precisan espacios de parámetros diferentes. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre las coordenadas Fenchel–Nielsen (longitud–torsión, real‑analíticas, geométricas) y los sistemas de coordenadas complejo‑analíticas (Bers, Fenchel–Nielsen complejo) o las coordenadas de corte/laminación de Thurston; cada uno resalta estructuras distintas y posee propiedades analíticas distintas. ## Síntesis Síntesis Las coordenadas de Fenchel–Nielsen convierten una descomposición geométrica de una superficie en una lista finita de parámetros de longitud y torsión que parametrizan globalmente el espacio de Teichmüller, transformando la geometría de corte‑y‑pega en un sistema de coordenadas explícito para los módulos de superficies hiperbólicas.