## [Geometría Conforme](/es/node/61910) Definición El estudio de estructuras geométricas y aplicaciones que preservan ángulos (y formas infinitesimales) hasta un factor de escala local, incluyendo métricas conformes, transformaciones de Möbius e invariantes conformes como la clase conforme de una métrica y los tensores de curvatura conformes. ## Principio Principio La geometría conforme organiza los objetos por sus propiedades de preservación de ángulos: la relación de equivalencia principal es la igualdad hasta multiplicación por escalares positivos punto a punto de la métrica, enfatizando datos sin escala y los invariantes bajo mapas conformes. ## Demostración Demostración En una superficie de Riemann, las aplicaciones complejas analíticas son conformes; el teorema de uniformización ilustra la clasificación conforme mostrando que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conforme a la esfera, al plano o al disco. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir equivalencia conforme con isometría (preservación de la métrica) conduce a afirmaciones incorrectas sobre rigidez: dos métricas en la misma clase conforme no necesitan tener las mismas longitudes o volúmenes, solo los mismos ángulos. ## Consecuencia Consecuencia Su uso correcto proporciona herramientas para resolver EDP invariantes ante escalado (p. ej., problema de Yamabe), para estudiar módulos conformes y para conectar datos locales de curvatura con la topología global mediante invariantes conformes. ## Inversión Inversión La perspectiva invertida es la geometría que preserva la escala (isométrica), donde las distancias y volúmenes absolutos están fijados y la información solo de ángulos no basta para reconstruir la métrica. ## Límite Límite Se centra en estructuras definidas hasta un reescalado puntual positivo de una métrica o en transformaciones locales que preservan ángulos; excluye problemas que requieren datos métricos absolutos, clasificación isométrica rígida o asignaciones de ángulos puramente combinatorias sin estructura suave. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión con la geometría riemanniana y la proyectiva: la geometría conforme descarta la escala pero mantiene los ángulos, mientras la riemanniana conserva la métrica completa y la proyectiva preserva geodésicas pero no ángulos. ## Síntesis Síntesis La geometría conforme aísla el núcleo que preserva ángulos de la geometría métrica: pasando a clases conformes y estudiando invariantes y EDP invariantes por escalado, relaciona la forma infinitesimal local con la estructura global sin atender al tamaño absoluto.