## [Diagrama de Voronoi](/es/node/61874) Definición Una subdivisión del espacio en regiones (celdas) alrededor de un conjunto de puntos semilla tal que cada región contiene todos los puntos más cercanos a su semilla que a cualquier otra, produciendo una teselación usada para análisis de proximidad y consultas de vecino más cercano. ## Principio Principio La celda de Voronoi para una semilla es la intersección de semiespacios determinados por las mediatrices perpendiculares entre esa semilla y cada otra; la colección de celdas cubre el dominio con regiones convexas (en entornos euclídeos) cuya adyacencia codifica relaciones de vecino más cercano. ## Demostración Demostración Dadas semillas S = {s1,s2,...,sn} en el plano, la celda de si es {x | dist(x,si) ≤ dist(x,sj) para todo j}; por ejemplo, calcular las mediatrices perpendiculares entre semillas cercanas genera celdas poligonales cuyos vértices son circuncentros de triángulos de Delaunay. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar diagramas de Voronoi con una métrica inapropiada sin adaptar la construcción de bisectrices o aplicar propiedades euclídeas estándar (convexidad, bisectrices rectas) en contextos no euclídeos puede producir celdas incorrectas y una información de proximidad engañosa. ## Consecuencia Consecuencia Los diagramas de Voronoi proporcionan un índice espacial canónico para la búsqueda del vecino más cercano, regiones de influencia y clustering espacial; su dual, la triangulación de Delaunay, apoya la generación de mallas y consultas geométricas eficientes. ## Inversión Inversión Revertir la perspectiva da la triangulación de Delaunay, que conecta semillas en simpléctices cuyos circuncentros forman los vértices de Voronoi; esta inversión cambia el foco de la propiedad de región a la conectividad simpléctial. ## Límite Límite Definido para semillas discretas en espacios métricos donde las distancias y las bisectrices están bien definidas; en espacios euclídeos las celdas son politopos convexos, mientras que en métricas ponderadas, anisotrópicas o no euclídeas las celdas pueden ser no convexas o tener estructura más compleja. ## Tensión semántica Tensión semántica Las particiones de Voronoi a veces se confunden con clusters de vecino más cercano o regiones basadas en densidad; a diferencia del clustering probabilístico, las celdas de Voronoi son particiones deterministas inducidas por la métrica y no incorporan la densidad de datos ni suavizado estadístico salvo que se extiendan. ## Síntesis Síntesis Un diagrama de Voronoi es la partición inducida por la métrica del espacio en regiones propiedad de semillas obtenida al intersectar semiespacios provenientes de bisectrices pares; sus celdas convexas y la dualidad con la triangulación de Delaunay lo convierten en una estructura fundamental para proximidad, indexación espacial y algoritmos geométricos.