## [Coordenadas Baricéntricas](/es/node/61868) Definición Una representación coordenada de un punto respecto a los vértices de un simplejo (por ejemplo un triángulo) usando pesos proporcionales a áreas o volúmenes con signo; los pesos se normalizan para sumar uno y determinan la combinación afín de los vértices que produce el punto. ## Principio Principio Todo punto en el espacio afín generado por un simplejo puede expresarse (salvo casos degenerados) como un promedio ponderado de los vértices con coeficientes que suman uno; las relaciones geométricas se traducen en relaciones algebraicas entre esos pesos. ## Demostración Demostración Para un punto P en el plano del triángulo ABC, calcular tres escalares α, β, γ proporcionales a las áreas de los triángulos PBC, PCA y PAB y normalizarlos para que α+β+γ=1; entonces P = αA + βB + γC y las coordenadas baricéntricas son (α,β,γ). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar coordenadas baricéntricas como coordenadas euclídeas sin imponer la restricción de suma uno o aplicarlas fuera del espacio afín del simplejo (por ejemplo aplicar fórmulas de área con puntos no coplanares) produce conclusiones erróneas. ## Consecuencia Consecuencia Bien utilizadas, las coordenadas baricéntricas linealizan muchas construcciones geométricas: intersecciones de rectas, cevianas y ecuaciones de cónicas se convierten en relaciones lineales o racionales en los pesos, facilitando demostraciones y cálculos. ## Inversión Inversión En lugar de representar puntos por pesos en los vértices, se puede representarlos por coordenadas cartesianas absolutas; esa inversión pierde la invariancia afín intrínseca de las coordenadas baricéntricas. ## Límite Límite Se aplica a los espacios afines de simplejos (segmentos, triángulos, tetraedros) y se extiende a áreas/volúmenes con signo; excluye variedades no afines y contextos con vértices indefinidos o degenerados (colinealidad o coplanaridad requieren argumentos por límite). ## Tensión semántica Tensión semántica Las coordenadas baricéntricas compiten con coordenadas homogéneas y cartesianas: las homogéneas codifican comportamiento proyectivo, las cartesianas son globales; las baricéntricas son locales al simplejo y naturalmente afines pero no globales en dominios arbitrarios. ## Síntesis Síntesis Las coordenadas baricéntricas son un sistema de pesos afines ligado a un simplejo: asignando a cada vértice un peso normalizado proporcional a áreas/volúmenes con signo se obtiene un sistema de coordenadas que convierte afirmaciones de incidencia y razón en relaciones de álgebra lineal, estable bajo afinidades.