##  [Teorema de Pascal](/es/node/61859) 

 Definición

Un teorema de geometría proyectiva: para cualquier hexágono cuyos seis vértices yacen sobre una cónica no degenerada, los tres puntos de intersección de los pares de lados opuestos son colineales (pertenecen a una misma recta denominada recta de Pascal).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Invariancia proyectiva de las incidencias: las incidencias y colinearidades determinadas por una cónica se conservan bajo transformaciones proyectivas; la configuración de las intersecciones de lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica produce una única recta.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Tomar seis puntos distintos A,B,C,D,E,F sobre una circunferencia (caso particular de cónica). Formar el hexágono A–B–C–D–E–F y calcular X = AB∩DE, Y = BC∩EF, Z = CD∩FA; el teorema de Pascal afirma que X,Y,Z son colineales. La misma conclusión vale tras aplicar cualquier mapa proyectivo que envíe la circunferencia a otra cónica no degenerada.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Afirmar colinearidad cuando los seis vértices no están sobre la misma cónica (por ejemplo hexágonos arbitrarios) o tratar indebidamente degeneraciones (tres vértices consecutivos coincidentes, o lados opuestos paralelos en una representación afín) conduce a errores.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una relación de incidencia fundamental usada para generar nuevas rectas proyectivas a partir de hexágonos inscritos en una cónica; da lugar a construcciones (la recta de Pascal) y sustenta muchos resultados y demostraciones sintéticas clásicas en geometría proyectiva.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Enunciado dual (teorema de Brianchon): para un hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales principales concurren. La dualidad subraya la relación proyectiva entre colinearidad y concurrencia.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se cumple en el plano proyectivo para cónicas no degeneradas y con interpretación adecuada de degeneraciones; no se aplica si los seis vértices no están sobre la misma cónica o si la geometría ambiente carece de los axiomas de incidencia proyectiva (p. ej. construcciones puramente métricas euclidianas sin clausura proyectiva).

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A veces se confunde con propiedades hexagonales puramente métricas (p. ej. lados opuestos iguales) o con teoremas específicos de la circunferencia; la tensión es entre la colinearidad proyectiva (fenómeno de invariancia/razón doble) y afirmaciones métricas euclidianas de longitudes/ángulos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema de Pascal es una regla de incidencia proyectiva: un hexágono inscrito en una cónica determina una recta canónica por las tres intersecciones de lados opuestos, enunciado estable por transformaciones proyectivas y dual a Brianchon.