## [Axioma de Playfair](/es/node/61843) Definición Un axioma que, en los sistemas axiomáticos euclidianos habituales, es equivalente al postulado paralelo de Euclides: por un punto dado que no está sobre una recta dada pasa, como mucho, una recta paralela a la recta dada. ## Principio Principio El axioma de Playfair enfatiza la unicidad de la paralela más que la existencia explícita; dentro de los axiomas estándar es intercambiable con la formulación de Euclides y condiciona los resultados que dependen de la unicidad de las paralelas. ## Demostración Demostración Dada una recta ℓ y un punto P fuera de ℓ, construya la recta por P que produce ángulos alternos internos iguales con una transversal; la unicidad se sigue puesto que cualquier otra candidata provocaría contradicciones en las sumas de ángulos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la redacción de Playfair aisladamente en un sistema axiomático carente de los otros axiomas euclidianos puede inducir a error: «como mucho una» no garantiza por sí sola la existencia de alguna paralela, y se podría inferir erróneamente no existencia en ciertos modelos. ## Consecuencia Consecuencia Cuando se combina con los axiomas euclidianos habituales, el axioma de Playfair asegura las propiedades estándar de las paralelas: paralelas únicas, relaciones de suma de ángulos en polígonos y los criterios usuales de semejanza y congruencia que dependen del paralelismo. ## Inversión Inversión Sustituir «como mucho una» por «ninguna» o «más de una» conduce respectivamente a geometrías elípticas (sin paralelas) o hiperbólicas (múltiples paralelas); sustituirlo por «exactamente una» recupera la frase existencial explícita de Euclides. ## Límite Límite Su equivalencia con el postulado de Euclides depende de los axiomas circundantes; en sistemas axiomáticos debilitados o alternativos las formulaciones pueden no ser equivalentes, y en variedades no planas la noción de recta y paralela debe adaptarse. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la brevedad de Playfair («como mucho una») y el enunciado de Euclides («exactamente una»): la primera destaca la unicidad mientras que la segunda agrupa existencia y unicidad, lo cual importa en axiomatizaciones mínimas. ## Síntesis Síntesis El axioma de Playfair es la reformulación centrada en la unicidad del requerimiento euclidiano de paralelismo; dentro de los axiomas habituales produce las mismas consecuencias geométricas y subraya que la unicidad, no la redacción sobre existencia, es la restricción esencial.